Considere as afirmativas abaixo:
I - Se T é uma projeção ortogonal em uma reta do R^3, então det(T+3 I)=0.
II - Se P é uma projeção ortogonal em um plano do R^3, então det(P+I) neq 0.
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Apenas I é verdadeira.
© Todas são falsas.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos duas afirmações sobre projeções ortogonais em e precisamos verificar quais são verdadeiras. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre determinantes e propriedades de projeções ortogonais. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma projeção ortogonal. Em , uma projeção ortogonal em uma reta ou em um plano é uma transformação linear que “projeta” vetores sobre essa reta ou plano de maneira perpendicular.

Passo 3

Agora, vamos analisar a afirmação I:
“Se é uma projeção ortogonal em uma reta do , então .”
Para verificar isso, precisamos entender como é representada uma projeção ortogonal em uma reta e calcular o determinante de .

Passo 4

Uma projeção ortogonal em uma reta em T = 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 tem a seguinte matriz geral:
Isso porque apenas a direção da reta preserva o vetor, e as outras componentes são projetadas para zero.

Passo 5

Agora, vamos calcular T + 3I = 1 + 3 & 0 & 0 0 & 0 + 3 & 0 0 & 0 & 0 + 3 = 4 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 3 :

Passo 6

O determinante de uma matriz diagonal como det(T + 3I) = 4 times 3 times 3 = 36 neq 0 é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal:
Então, a afirmação I diz que , mas calculamos que é 36, que não é igual a zero. Portanto, a afirmação I é falsa.

Passo 7

Vamos agora para a afirmação II:
“Se é uma projeção ortogonal em um plano do , então .”
Vamos proceder da mesma forma: entender a matriz de uma projeção ortogonal em um plano e calcular o determinante de .

Passo 8

Uma projeção ortogonal em um plano em P = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 pode ser representada pela seguinte matriz:
Aqui, as duas primeiras direções do plano são preservadas, e a terceira é projetada para zero.

Passo 9

Calculando P + I = 1 + 1 & 0 & 0 0 & 1 + 1 & 0 0 & 0 & 0 + 1 = 2 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 1 :

Passo 10

O determinante de det(P + I) = 2 times 2 times 1 = 4 neq 0 é:
A afirmação II diz que , e nosso cálculo confirma isso. Portanto, a afirmação II é verdadeira.

Resposta

A resposta correta é a alternativa (A) Apenas II é verdadeira.

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