Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos duas afirmações sobre projeções ortogonais em e precisamos verificar quais são verdadeiras. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre determinantes e propriedades de projeções ortogonais. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma projeção ortogonal. Em , uma projeção ortogonal em uma reta ou em um plano é uma transformação linear que “projeta” vetores sobre essa reta ou plano de maneira perpendicular.
Passo 3
Agora, vamos analisar a afirmação I:
“Se é uma projeção ortogonal em uma reta do , então .”
Para verificar isso, precisamos entender como é representada uma projeção ortogonal em uma reta e calcular o determinante de .
Passo 4
Uma projeção ortogonal em uma reta em tem a seguinte matriz geral:
Isso porque apenas a direção da reta preserva o vetor, e as outras componentes são projetadas para zero.
Passo 5
Agora, vamos calcular :
Passo 6
O determinante de uma matriz diagonal como é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal:
Então, a afirmação I diz que , mas calculamos que é 36, que não é igual a zero. Portanto, a afirmação I é falsa.
Passo 7
Vamos agora para a afirmação II:
“Se é uma projeção ortogonal em um plano do , então .”
Vamos proceder da mesma forma: entender a matriz de uma projeção ortogonal em um plano e calcular o determinante de .
Passo 8
Uma projeção ortogonal em um plano em pode ser representada pela seguinte matriz:
Aqui, as duas primeiras direções do plano são preservadas, e a terceira é projetada para zero.
Passo 9
Calculando :
Passo 10
O determinante de é:
A afirmação II diz que , e nosso cálculo confirma isso. Portanto, a afirmação II é verdadeira.
Resposta
A resposta correta é a alternativa (A) Apenas II é verdadeira.