Em cada item a seguir, determine a interseção da reta com o plano .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma reta x = 2 - 2t y = -1 + 3t z = 1 + t e um plano x + y + z - 4 = 0 . Nosso objetivo é encontrar onde essa reta cruza o plano. Para isso, precisamos entender as equações que definem a reta e o plano.
Reta :
Aqui, é o parâmetro que varia nos números reais ().
Plano :
Para encontrar a interseção, vamos descobrir para qual valor de as coordenadas da reta satisfazem a equação do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as coordenadas da reta em termos de x = 2 - 2t y = -1 + 3t z = 1 + t :
Essas equações nos dizem como cada coordenada varia conforme muda.
Passo 3
Agora, vamos substituir essas expressões na equação do plano x + y + z - 4 = 0 :
(2 - 2t) + (-1 + 3t) + (1 + t) - 4 = 0
Substituindo , , e :
Passo 4
Vamos simplificar a equação:
2 - 2t - 1 + 3t + 1 + t - 4 = 0
Agora, combinando os termos semelhantes:
(2 - 1 + 1 - 4) + (-2t + 3t + t) = 0
(-2) + (2t) = 0
Então,
2t = 2 Rightarrow t = 1
Passo 5
Com x = 2 - 2(1) = 0 , vamos encontrar as coordenadas y = -1 + 3(1) = 2 , z = 1 + 1 = 2 e :