Determine a equação cartesiana do plano que contém o ponto A(2,2,-1) e a reta r:(x, y, z)=(- 1,0,3)+t(2,4,-6)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a equação cartesiana de um plano que contém o ponto e a reta .
Conteúdo envolvido: Estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com equações de planos e retas no espaço tridimensional.
O que vamos precisar:
  • Entender como encontrar a equação de um plano a partir de um ponto e um vetor normal.
  • Saber como determinar um vetor normal ao plano utilizando vetores da reta e vetores que ligam pontos no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os elementos que já temos:
  • Ponto no plano:
  • Equação paramétrica da reta :
O vetor diretor da reta é . Esse vetor está no plano que queremos encontrar.

Passo 3

Agora, precisamos de outro vetor que também está no plano. Para isso, vamos pegar um ponto qualquer da reta . Vamos escolher :
  • Quando , o ponto na reta é .
Vamos chamar esse ponto de .

Passo 4

Com os pontos AB = B - A = (-1 - 2, 0 - 2, 3 - (-1)) = (-3, -2, 4) e , podemos formar um vetor que liga A a B:
Esse vetor também está no plano.

Passo 5

Agora, para encontrar o vetor normal ao plano, vamos calcular o produto vetorial entre os dois vetores que estão no plano: n = v times AB = i & j & k 2 & 4 & -6 -3 & -2 & 4 e n = i(4 times 4 - (-6) times (-2)) - j(2 times 4 - (-6) times (-3)) + k(2 times (-2) - 4 times (-3)) .
n = i(16 - 12) - j(8 - 18) + k(-4 + 12)
Calculando o determinante:
n = i(4) - j(-10) + k(8)
n = (4, 10, 8)
n = (2, 5, 4)
Podemos simplificar dividindo por 2:

Passo 6

Com o vetor normal a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 e o ponto 2(x - 2) + 5(y - 2) + 4(z + 1) = 0 , podemos escrever a equação geral do plano usando a fórmula:
2x - 4 + 5y - 10 + 4z + 4 = 0
onde 2x + 5y + 4z - 10 = 0 são as componentes do vetor normal e é o ponto dado.
Substituindo:
Expandindo:

Resposta

A equação cartesiana do plano é .

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