Determine a equação cartesiana do plano que contém o ponto e a reta

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a equação cartesiana de um plano que contém o ponto e a reta .
Conteúdo envolvido: Estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com equações de planos e retas no espaço tridimensional.
O que vamos precisar:
  • Entender como encontrar a equação de um plano a partir de um ponto e um vetor normal.
  • Saber como determinar um vetor normal ao plano utilizando vetores da reta e vetores que ligam pontos no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os elementos que já temos:
  • Ponto no plano:
  • Equação paramétrica da reta :
O vetor diretor da reta é . Esse vetor está no plano que queremos encontrar.

Passo 3

Agora, precisamos de outro vetor que também está no plano. Para isso, vamos pegar um ponto qualquer da reta . Vamos escolher :
  • Quando , o ponto na reta é .
Vamos chamar esse ponto de .

Passo 4

Com os pontos e , podemos formar um vetor que liga A a B:
Esse vetor também está no plano.

Passo 5

Agora, para encontrar o vetor normal ao plano, vamos calcular o produto vetorial entre os dois vetores que estão no plano: e .
Calculando o determinante:
Podemos simplificar dividindo por 2:

Passo 6

Com o vetor normal e o ponto , podemos escrever a equação geral do plano usando a fórmula:
onde são as componentes do vetor normal e é o ponto dado.
Substituindo:
Expandindo:

Resposta

A equação cartesiana do plano é .

Exercícios relacionados

Calcule o polinômio característico da matriz abaixo:
Dica: explore a estrutura em blocos da matriz.
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
Considere os vetores e .
Determine um vetor que seja ortogonal a ambos e .
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se e , então possui 8 autovalores reais distintos.
II - A matriz possui uma base de autovetores.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas II é verdadeira.
© Todas são verdadeiras.
(D) Apenas I é verdadeira.
(E) Não sei
Em cada item a seguir, determine a interseção da reta com o plano .