Determine a equação cartesiana do plano que contém o ponto e a reta
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a equação cartesiana de um plano que contém o ponto e a reta .
Conteúdo envolvido: Estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com equações de planos e retas no espaço tridimensional.
O que vamos precisar:
Entender como encontrar a equação de um plano a partir de um ponto e um vetor normal.
Saber como determinar um vetor normal ao plano utilizando vetores da reta e vetores que ligam pontos no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os elementos que já temos:
Ponto no plano:
Equação paramétrica da reta :
O vetor diretor da reta é . Esse vetor está no plano que queremos encontrar.
Passo 3
Agora, precisamos de outro vetor que também está no plano. Para isso, vamos pegar um ponto qualquer da reta . Vamos escolher :
Quando , o ponto na reta é .
Vamos chamar esse ponto de .
Passo 4
Com os pontos e , podemos formar um vetor que liga A a B:
Esse vetor também está no plano.
Passo 5
Agora, para encontrar o vetor normal ao plano, vamos calcular o produto vetorial entre os dois vetores que estão no plano: e .
Calculando o determinante:
n = i(4) - j(-10) + k(8)
n = (4, 10, 8)
n = (2, 5, 4)
Podemos simplificar dividindo por 2:
Passo 6
Com o vetor normal a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 e o ponto 2(x - 2) + 5(y - 2) + 4(z + 1) = 0 , podemos escrever a equação geral do plano usando a fórmula:
2x - 4 + 5y - 10 + 4z + 4 = 0
onde 2x + 5y + 4z - 10 = 0 são as componentes do vetor normal e é o ponto dado.