Determine a equação cartesiana do plano que contém o ponto
e a reta
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a equação cartesiana de um plano que contém o ponto
e a reta
.
Conteúdo envolvido: Estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com equações de planos e retas no espaço tridimensional.
O que vamos precisar:
- Entender como encontrar a equação de um plano a partir de um ponto e um vetor normal.
- Saber como determinar um vetor normal ao plano utilizando vetores da reta e vetores que ligam pontos no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os elementos que já temos:
- Ponto no plano:
- Equação paramétrica da reta
:
O vetor diretor da reta
é
. Esse vetor está no plano que queremos encontrar.
Passo 3
Agora, precisamos de outro vetor que também está no plano. Para isso, vamos pegar um ponto qualquer da reta
. Vamos escolher
:
- Quando
, o ponto na reta é .
Vamos chamar esse ponto de
.
Passo 4
Com os pontos
e
, podemos formar um vetor que liga A a B:
Esse vetor
também está no plano.
Passo 5
Agora, para encontrar o vetor normal ao plano, vamos calcular o produto vetorial entre os dois vetores que estão no plano:
e
.
Calculando o determinante:
Podemos simplificar dividindo por 2:
Passo 6
Com o vetor normal
e o ponto
, podemos escrever a equação geral do plano usando a fórmula:
onde
são as componentes do vetor normal e
é o ponto dado.
Substituindo:
Expandindo:
Resposta
A equação cartesiana do plano é
.
Exercícios relacionados
Calcule o polinômio característico da matriz
abaixo:
Dica: explore a estrutura em blocos da matriz.
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
Considere os vetores
e
.
Determine um vetor que seja ortogonal a ambos e
.
Determine um vetor que seja ortogonal a ambos
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se e
, então
possui 8 autovalores reais distintos.
II - A matriz possui uma base de autovetores.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas II é verdadeira.
© Todas são verdadeiras.
(D) Apenas I é verdadeira.
(E) Não sei
I - Se
II - A matriz
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas II é verdadeira.
© Todas são verdadeiras.
(D) Apenas I é verdadeira.
(E) Não sei
Em cada item a seguir, determine a interseção da reta
com o plano
.