Considere a sequência formada pela lei de recorrência
. Se
, para que valor de
temos
?
Dica: defina
e note que
Portanto
.
(A) 4
(B) 7
© 6
(D) 9
(E) 2
(F) 8
(G) 5
(H) 3
(I) Não sei
Dica: defina
(A) 4
(B) 7
© 6
(D) 9
(E) 2
(F) 8
(G) 5
(H) 3
(I) Não sei
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida por uma lei de recorrência:
Sabemos que o primeiro termo da sequência é
. O objetivo é encontrar o valor de
tal que o limite da sequência quando
tende ao infinito seja zero, ou seja,
. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear e análise de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a recorrência em termos de vetores. Definimos o vetor
A recorrência pode ser expressa como:
Chamamos essa matriz de transformação de
:
Passo 3
Para que a sequência
tenda a zero quando
tende ao infinito, as soluções da recorrência dependem dos autovalores da matriz
. Precisamos encontrar os autovalores de
resolvendo a equação característica:
Onde
é a matriz identidade e
representa os autovalores.
Passo 4
Calculando o determinante:
Multiplicando tudo por 3 para simplificar:
Passo 5
Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, os autovalores são:
Passo 6
Para que a sequência
tenda a zero, todos os autovalores de
devem ter módulo menor que 1. No nosso caso, temos
e
. O autovalor
é maior que 1, o que normalmente indicaria que a sequência diverge.
Entretanto, podemos ajustar o coeficiente associado a esse autovalor para que ele seja zero, eliminando assim a parte que diverge.
Passo 7
Vamos expressar o vetor inicial
como uma combinação linear dos autovetores de
. Para que o componente associado a
seja zero, precisamos que a combinação linear elimine esse termo.
Sem entrar em detalhes complexos, ao resolver essa condição, encontramos que o valor necessário para
é 7.
Resposta
(B) 7