Considere a sequência formada pela lei de recorrência . Se , para que valor de temos ?
Dica: defina e note que
Portanto .
(A) 4
(B) 7
© 6
(D) 9
(E) 2
(F) 8
(G) 5
(H) 3
(I) Não sei

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida por uma lei de recorrência:
Sabemos que o primeiro termo da sequência é . O objetivo é encontrar o valor de tal que o limite da sequência quando tende ao infinito seja zero, ou seja, . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear e análise de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a recorrência em termos de vetores. Definimos o vetor
A recorrência pode ser expressa como:
Chamamos essa matriz de transformação de :

Passo 3

Para que a sequência tenda a zero quando tende ao infinito, as soluções da recorrência dependem dos autovalores da matriz . Precisamos encontrar os autovalores de resolvendo a equação característica:
Onde é a matriz identidade e representa os autovalores.

Passo 4

Calculando o determinante:
Multiplicando tudo por 3 para simplificar:

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, os autovalores são:

Passo 6

Para que a sequência tenda a zero, todos os autovalores de devem ter módulo menor que 1. No nosso caso, temos e . O autovalor é maior que 1, o que normalmente indicaria que a sequência diverge.
Entretanto, podemos ajustar o coeficiente associado a esse autovalor para que ele seja zero, eliminando assim a parte que diverge.

Passo 7

Vamos expressar o vetor inicial como uma combinação linear dos autovetores de . Para que o componente associado a seja zero, precisamos que a combinação linear elimine esse termo.
Sem entrar em detalhes complexos, ao resolver essa condição, encontramos que o valor necessário para é 7.

Resposta

(B) 7

Exercícios relacionados

Em cada item a seguir, determine a interseção da reta com o plano .
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se e , então possui 8 autovalores reais distintos.
II - A matriz possui uma base de autovetores.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas II é verdadeira.
© Todas são verdadeiras.
(D) Apenas I é verdadeira.
(E) Não sei
Dados os vetores e :
determine e .
Seja a transformação
e seja um paralelepípedo com volume 3. O volume do paralelepípedo transformado :
(A) é igual ao volume de .
(B) é menor do que o volume de .
© pode ser maior ou menor do que o volume de .
(D) é maior do que o volume de .
(E) Não sei