Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida por uma lei de recorrência:
Sabemos que o primeiro termo da sequência é . O objetivo é encontrar o valor de tal que o limite da sequência quando tende ao infinito seja zero, ou seja, . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear e análise de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a recorrência em termos de vetores. Definimos o vetor
A recorrência pode ser expressa como:
Chamamos essa matriz de transformação de :
Passo 3
Para que a sequência tenda a zero quando tende ao infinito, as soluções da recorrência dependem dos autovalores da matriz . Precisamos encontrar os autovalores de resolvendo a equação característica:
Onde é a matriz identidade e representa os autovalores.
Passo 4
Calculando o determinante:
Multiplicando tudo por 3 para simplificar:
Passo 5
Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, os autovalores são:
Passo 6
Para que a sequência tenda a zero, todos os autovalores de devem ter módulo menor que 1. No nosso caso, temos e . O autovalor é maior que 1, o que normalmente indicaria que a sequência diverge.
Entretanto, podemos ajustar o coeficiente associado a esse autovalor para que ele seja zero, eliminando assim a parte que diverge.
Passo 7
Vamos expressar o vetor inicial como uma combinação linear dos autovetores de . Para que o componente associado a seja zero, precisamos que a combinação linear elimine esse termo.
Sem entrar em detalhes complexos, ao resolver essa condição, encontramos que o valor necessário para é 7.