Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
e
, então
possui 8 autovalores reais distintos.
II - A matriz
possui uma base de autovetores.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas II é verdadeira.
© Todas são verdadeiras.
(D) Apenas I é verdadeira.
(E) Não sei
I - Se
II - A matriz
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas II é verdadeira.
© Todas são verdadeiras.
(D) Apenas I é verdadeira.
(E) Não sei
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício apresenta duas afirmações sobre matrizes e seus autovalores/autovetores. Nosso objetivo é analisar cada uma delas usando conceitos de álgebra linear, como simetria de matrizes, autovalores reais, e bases de autovetores. Precisaremos entender propriedades de matrizes simétricas e matrizes do tipo
.
Passo 2
Vamos começar com a Afirmação I:
I - Se
e
, então
possui 8 autovalores reais distintos.
Primeiro,
significa que
é uma matriz simétrica. Uma propriedade importante das matrizes simétricas é que todos os seus autovalores são reais e que ela é diagonalizável, ou seja, possui uma base completa de autovetores.
No entanto, a afirmação diz que
possui 8 autovalores reais distintos. Isso não é necessariamente verdade. Uma matriz simétrica pode ter autovalores repetidos. Então, a afirmação de que todos são distintos é incorreta.
Conclusão para a Afirmação I: Falsa.
Passo 3
Agora, vamos para a Afirmação II:
II - A matriz
possui uma base de autovetores.
Aqui,
é uma matriz simétrica, porque o produto
resulta sempre em uma matriz simétrica. Assim como mencionamos na afirmação I, matrizes simétricas são sempre diagonalizáveis e possuem uma base completa de autovetores.
Portanto, a afirmação está correta.
Conclusão para a Afirmação II: Verdadeira.
Resposta
Apenas a afirmação II é verdadeira. Alternativa (B).