Considere as afirmativas abaixo:
I - Se e , então possui 8 autovalores reais distintos.
II - A matriz possui uma base de autovetores.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas II é verdadeira.
© Todas são verdadeiras.
(D) Apenas I é verdadeira.
(E) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício apresenta duas afirmações sobre matrizes e seus autovalores/autovetores. Nosso objetivo é analisar cada uma delas usando conceitos de álgebra linear, como simetria de matrizes, autovalores reais, e bases de autovetores. Precisaremos entender propriedades de matrizes simétricas e matrizes do tipo .

Passo 2

Vamos começar com a Afirmação I:
I - Se e , então possui 8 autovalores reais distintos.
Primeiro, significa que é uma matriz simétrica. Uma propriedade importante das matrizes simétricas é que todos os seus autovalores são reais e que ela é diagonalizável, ou seja, possui uma base completa de autovetores.
No entanto, a afirmação diz que possui 8 autovalores reais distintos. Isso não é necessariamente verdade. Uma matriz simétrica pode ter autovalores repetidos. Então, a afirmação de que todos são distintos é incorreta.
Conclusão para a Afirmação I: Falsa.

Passo 3

Agora, vamos para a Afirmação II:
II - A matriz possui uma base de autovetores.
Aqui, é uma matriz simétrica, porque o produto resulta sempre em uma matriz simétrica. Assim como mencionamos na afirmação I, matrizes simétricas são sempre diagonalizáveis e possuem uma base completa de autovetores.
Portanto, a afirmação está correta.
Conclusão para a Afirmação II: Verdadeira.

Resposta

Apenas a afirmação II é verdadeira. Alternativa (B).

Exercícios relacionados

Determine a equação cartesiana do plano que contém o ponto e a reta
Calcule o polinômio característico da matriz abaixo:
Dica: explore a estrutura em blocos da matriz.
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
Em cada item a seguir, determine a interseção da reta com o plano .
Considere a sequência formada pela lei de recorrência . Se , para que valor de temos ?
Dica: defina e note que
Portanto .
(A) 4
(B) 7
© 6
(D) 9
(E) 2
(F) 8
(G) 5
(H) 3
(I) Não sei