Para cada item a seguir, determine
, usando derivação implícita:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar
usando derivação implícita. O enunciado é
. A derivação implícita é uma técnica que usamos quando
está misturado com
numa mesma equação, e queremos achar a derivada de
em relação a
, ou seja,
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a derivação:
Passo 3
Agora, vamos derivar cada termo da equação em relação a
. Lembrando que
é uma função de
, então usamos a regra da cadeia quando derivamos termos com
.
Derivando
:
Aqui, aplicamos a regra da cadeia: a derivada de
é
multiplicado pela derivada de
em relação a
, que é
.
Derivando
:
Usamos a regra do poder: a derivada de
é
, então multiplicamos por -12.
Derivando
:
Aqui, a constante 8 fica multiplicando a derivada de
.
Passo 4
Agora, juntamos todas as derivadas:
Passo 5
Vamos isolar
na equação. Primeiro, vamos trazer todas as parcelas com
para um lado:
Fatorando
:
Passo 6
Finalmente, isolamos
:
Podemos simplificar a fração dividindo numerador e denominador por 2:
Resposta
A derivada
é:
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<html><head></head><body><div>Derive as seguintes funções:<br>
q) <span class=“math-inline “>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.94ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“13.586ex” height=“3.309ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -1047.1 6005.1 1462.4”><title>g(t) = csc(1-t) / (1 + e^(-t))</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D454” d=“M311 43Q296 30 267 15T206 0Q143 0 105 45T66 160Q66 265 143 353T314 442Q361 442 401 394L404 398Q406 401 409 404T418 412T431 419T447 422Q461 422 470 413T480 394Q480 379 423 152T363 -80Q345 -134 286 -169T151 -205Q10 -205 10 -137Q10 -111 28 -91T74 -71Q89 -71 102 -80T116 -111Q116 -121 114 -130T107 -144T99 -154T92 -162L90 -164H91Q101 -167 151 -167Q189 -167 211 -155Q234 -144 254 -122T282 -75Q288 -56 298 -13Q311 35 311 43ZM384 328L380 339Q377 350 375 354T369 368T359 382T346 393T328 402T306 405Q262 405 221 352Q191 313 171 233T151 117Q151 38 213 38Q269 38 323 108L331 118L384 328Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(477,0)”><path data-c=“28” d=“M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(866,0)”><path data-c=“1D461” d=“M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(1227,0)”><path data-c=“29” d=“M60 749L64 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transform=“translate(2949,0)”><path data-c=“1D461” d=“M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(3310,0)”><path data-c=“29” d=“M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z”></path></g></g><g data-mml-node=“mrow” transform=“translate(575.5,-357.4) scale(0.707)”><g data-mml-node=“mn”><path data-c=“31” d=“M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(500,0)”><path data-c=“2B” d=“M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z”></path></g><g data-mml-node=“msup” transform=“translate(1278,0)”><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D41E” d=“M32 225Q32 332 102 392T272 452H283Q382 452 436 401Q494 343 494 243Q494 226 486 222T440 217Q431 217 394 217T327 218H175V209Q175 177 179 154T196 107T236 69T306 50Q312 49 323 49Q376 49 410 85Q421 99 427 111T434 127T442 133T463 135H468Q494 135 494 117Q494 110 489 97T468 66T431 32T373 5T292 -6Q181 -6 107 55T32 225ZM383 276Q377 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<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.94ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“13.586ex” height=“3.309ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -1047.1 6005.1 1462.4”><title>g(t) = csc(1-t) / (1 + e^(-t))</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D454” d=“M311 43Q296 30 267 15T206 0Q143 0 105 45T66 160Q66 265 143 353T314 442Q361 442 401 394L404 398Q406 401 409 404T418 412T431 419T447 422Q461 422 470 413T480 394Q480 379 423 152T363 -80Q345 -134 286 -169T151 -205Q10 -205 10 -137Q10 -111 28 -91T74 -71Q89 -71 102 -80T116 -111Q116 -121 114 -130T107 -144T99 -154T92 -162L90 -164H91Q101 -167 151 -167Q189 -167 211 -155Q234 -144 254 -122T282 -75Q288 -56 298 -13Q311 35 311 43ZM384 328L380 339Q377 350 375 354T369 368T359 382T346 393T328 402T306 405Q262 405 221 352Q191 313 171 233T151 117Q151 38 213 38Q269 38 323 108L331 118L384 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i) <span class="math-inline ">
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<html><head></head><body><div>Os lados de um triângulo equilátero estão decrescento a uma taxa de <span class=“math-inline “>
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<html><head></head><body><div>Derive as seguintes funções:<br>
g) <span class=“math-inline “>
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