Para cada item a seguir, determine y', usando derivação implícita:
a) y^2 - 12 x^3 = 8 y

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar usando derivação implícita. O enunciado é . A derivação implícita é uma técnica que usamos quando está misturado com numa mesma equação, e queremos achar a derivada de em relação a , ou seja, .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a derivação:

Passo 3

Agora, vamos derivar cada termo da equação em relação a . Lembrando que é uma função de , então usamos a regra da cadeia quando derivamos termos com .
Derivando :
Aqui, aplicamos a regra da cadeia: a derivada de é multiplicado pela derivada de em relação a , que é .
Derivando :
Usamos a regra do poder: a derivada de é , então multiplicamos por -12.
Derivando :
Aqui, a constante 8 fica multiplicando a derivada de .

Passo 4

Agora, juntamos todas as derivadas:

Passo 5

Vamos isolar na equação. Primeiro, vamos trazer todas as parcelas com para um lado:
Fatorando :

Passo 6

Finalmente, isolamos :
Podemos simplificar a fração dividindo numerador e denominador por 2:

Resposta

A derivada é:

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