Para cada item a seguir, determine
, usando derivação implícita:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar
usando derivação implícita. O enunciado é
. A derivação implícita é uma técnica que usamos quando
está misturado com
numa mesma equação, e queremos achar a derivada de
em relação a
, ou seja,
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a derivação:
Passo 3
Agora, vamos derivar cada termo da equação em relação a
. Lembrando que
é uma função de
, então usamos a regra da cadeia quando derivamos termos com
.
Derivando
:
Aqui, aplicamos a regra da cadeia: a derivada de
é
multiplicado pela derivada de
em relação a
, que é
.
Derivando
:
Usamos a regra do poder: a derivada de
é
, então multiplicamos por -12.
Derivando
:
Aqui, a constante 8 fica multiplicando a derivada de
.
Passo 4
Agora, juntamos todas as derivadas:
Passo 5
Vamos isolar
na equação. Primeiro, vamos trazer todas as parcelas com
para um lado:
Fatorando
:
Passo 6
Finalmente, isolamos
:
Podemos simplificar a fração dividindo numerador e denominador por 2:
Resposta
A derivada
é: