Derive as seguintes funções:
q) g(t) = csc(1-t) / (1 + e^(-t)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa derivar a função . Isso envolve cálculo de derivadas, especificamente usando a regra do quociente e a regra da cadeia. Vamos precisar lembrar como derivar funções trigonométricas e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função para aplicar a regra do quociente. Temos uma função no numerador, , e outra no denominador, .

Passo 3

Vamos relembrar a regra do quociente: se , então . Aqui, e .

Passo 4

Vamos achar . Sabemos que , e a derivada de é . Aplicando a regra da cadeia:

Passo 5

Agora, vamos derivar . A derivada de é 0, e a derivada de é . Então:

Passo 6

Aplicando a regra do quociente:

Passo 7

Vamos simplificar o numerador:
Podemos fatorar :

Passo 8

Finalmente, juntando tudo:

Resposta

A derivada de é:

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