Os lados de um triângulo equilátero estão decrescento a uma taxa de 10 cm/h. Quão rápido a área desse triângulo está diminuindo quando os lados medem 2 cm ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, estamos lidando com um triângulo equilátero cujos lados estão diminuindo de tamanho. O conteúdo que vamos usar é Cálculo Diferencial, mais especificamente taxas relacionadas. Precisamos descobrir quão rápido a área desse triângulo está ficando menor quando cada lado tem 2 cm.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a área de um triângulo equilátero. A fórmula é:
Onde é a área e é o comprimento de um lado.

Passo 3

Agora, queremos saber como a área está mudando com o tempo. Para isso, vamos derivar a fórmula da área em relação ao tempo . Aplicando a derivada:
Simplificando, temos:
Isso nos mostra que a taxa de mudança da área depende do comprimento do lado e da taxa de mudança desse lado.

Passo 4

Sabemos que é a taxa de variação do lado com o tempo, que é dada como (o sinal negativo indica que o lado está diminuindo).
Substituindo os valores na equação:

Passo 5

Vamos calcular:

Resposta

A área do triângulo está diminuindo a uma taxa de quando os lados medem 2 cm.

Exercícios relacionados