Derive as seguintes funções:
g) Q(w) = coth(w) / (w + sinh(w)).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para derivar a função .
Conteúdo da matéria: Derivadas de funções compostas e de quociente, utilizando as regras de diferenciação como a regra do quociente e conhecendo as derivadas das funções hiperbólicas.
O que vamos precisar:
  • Conhecer as derivadas das funções hiperbólicas e .
  • Aplicar a regra do quociente para derivar uma fração de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das derivadas das funções hiperbólicas que vamos usar:
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
Além disso, para derivar uma função que é o quociente de duas funções, usamos a regra do quociente, que diz que se , então:

Passo 3

Aplicando a regra do quociente para a nossa função , identificamos:
Agora, vamos derivar e :

Passo 4

Substituindo na fórmula da regra do quociente:

Passo 5

Simplificando a expressão do numerador:
Lembrando que , podemos reescrever:

Passo 6

Colocando tudo sobre o mesmo denominador :

Passo 7

Assim, a derivada fica:

Resposta

A derivada da função é:

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