Para cada item a seguir, determine y', usando derivação implícita:
c) 6 x^(-2) - x^3 y^2 + 4 x = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação usando derivação implícita. A gente tem a equação e precisa encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos diferenciar cada termo da equação com respeito a , lembrando que é uma função de .

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar cada termo separadamente. Lembre-se que quando temos uma função de que depende de , usamos a regra da cadeia. Vamos lá:
  1. Diferenciando :
  2. Diferenciando :
    Aqui usamos a regra do produto, porque temos multiplicando :
  3. Diferenciando :

Passo 3

Agora, vamos juntar as derivadas e igualar a zero, já que a derivada de zero é zero:

Passo 4

Vamos isolar os termos que contêm dos demais:

Passo 5

Agora, resolvemos para dividindo ambos os lados por :

Passo 6

Podemos simplificar um pouco mais a expressão:
Ou, se preferir, multiplicando numerador e denominador por para facilitar:

Resposta

A derivada é:

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