Um tanque de água, na forma de um cone conforme a figura, inicialmente cheio, está com um vazamento de
. O raio da base do tanque é 1 m e sua altura é
. Quando a profundidade da áqua no tanque é
:
a) Qual é a taxa de variação da profundidade da água no tanque ?
a) Qual é a taxa de variação da profundidade da água no tanque ?
Passo 1
Vamos lá! Temos um tanque de água em forma de cone que está vazando água a uma taxa de
. As dimensões do tanque são: raio da base
e altura
. Queremos descobrir a que taxa a profundidade da água está diminuindo quando a profundidade
é
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo relacionados a taxas de variação e geometria do cone.
Passo 2
Primeiro, precisamos relacionar o volume da água no tanque com a profundidade da água. O volume
de um cone é dado por:
onde
é o raio da superfície da água no nível
.
Passo 3
Como o tanque é um cone, as proporções do raio e da altura são mantidas. Ou seja:
Substituindo
e
:
Passo 4
Agora, substituímos
na fórmula do volume:
Passo 5
Queremos encontrar a taxa de variação da profundidade
. Sabemos que a água está saindo a uma taxa de
(o sinal negativo indica que o volume está diminuindo). Precisamos relacionar
com
.
Passo 6
Derivamos a expressão do volume em relação ao tempo:
Passo 7
Isolamos
:
Passo 8
Substituímos os valores conhecidos:
e
:
Resposta
A taxa de variação da profundidade da água no tanque quando
é aproximadamente
, ou seja, a profundidade está diminuindo a uma taxa de cerca de
.