Um tanque de água, na forma de um cone conforme a figura, inicialmente cheio, está com um vazamento de 35 cm^3/s. O raio da base do tanque é 1 m e sua altura é 2,5 m. Quando a profundidade da áqua no tanque é 1,25 m :
a) Qual é a taxa de variação da profundidade da água no tanque ?

Passo 1

Vamos lá! Temos um tanque de água em forma de cone que está vazando água a uma taxa de . As dimensões do tanque são: raio da base e altura . Queremos descobrir a que taxa a profundidade da água está diminuindo quando a profundidade é . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo relacionados a taxas de variação e geometria do cone.

Passo 2

Primeiro, precisamos relacionar o volume da água no tanque com a profundidade da água. O volume de um cone é dado por:
onde é o raio da superfície da água no nível .

Passo 3

Como o tanque é um cone, as proporções do raio e da altura são mantidas. Ou seja:
Substituindo e :

Passo 4

Agora, substituímos na fórmula do volume:

Passo 5

Queremos encontrar a taxa de variação da profundidade . Sabemos que a água está saindo a uma taxa de (o sinal negativo indica que o volume está diminuindo). Precisamos relacionar com .

Passo 6

Derivamos a expressão do volume em relação ao tempo:

Passo 7

Isolamos :

Passo 8

Substituímos os valores conhecidos: e :

Resposta

A taxa de variação da profundidade da água no tanque quando é aproximadamente , ou seja, a profundidade está diminuindo a uma taxa de cerca de .

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