Em cada item a seguir, determine os subespaços U cap W, U+W de um espaço vetorial V e o conjunto de geradores de cada subespaço encontrado: U=(x, y, z) in R^3 mid x=0, W=(x, y, z) in R^3 mid y+x+z=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que encontrar a interseção U cap W e a soma U + W de dois subespaços no espaço vetorial R^3. O subespaço U é formado pelos vetores onde x = 0, ou seja, U = (0, y, z) mid y, z in R. Já o subespaço W é formado pelos vetores que satisfazem a equação y + x + z = 0. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de subespaços, interseção e soma de subespaços, além de entender como encontrar geradores para esses conjuntos.

Passo 2

Vamos começar encontrando a interseção U cap W. Isso significa encontrar todos os vetores que estão tanto em U quanto em W.
Sabemos que:
  • Em U, x = 0, então qualquer vetor em U tem a forma (0, y, z).
  • Em W, os vetores satisfazem x + y + z = 0.
Então, substituindo x = 0 na equação de W, temos:
0 + y + z = 0 Rightarrow y + z = 0 Rightarrow z = -y
Portanto, os vetores na interseção U cap W têm a forma (0, y, -y), onde y pode ser qualquer número real.

Passo 3

Agora, vamos pensar na soma U + W. A soma de dois subespaços é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de U e um vetor de W.
  • Um vetor em U é (0, y1, z1).
  • Um vetor em W é (x2, y2, z2), onde x2 + y2 + z2 = 0.
A soma desses vetores é:
(0 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = (x2, y1 + y2, z1 + z2)
Como x2 pode ser qualquer número real (desde que x2 + y2 + z2 = 0), ao combinar os vetores de U e W, cobrimos todo o espaço R^3. Portanto, a soma U + W é igual a R^3.

Resposta

  • A interseção U cap W é o conjunto , y cdot (0, 1, -1) mid y in R ,, com gerador (0, 1, -1).
  • A soma U + W é todo o espaço R^3, e seus geradores podem ser, por exemplo, (0, 1, 0), (0, 0, 1) e (1, -1, 0).

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