Em cada item a seguir, determine os subespaços
de um espaço vetorial
e o conjunto de geradores de cada subespaço encontrado:
,
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que encontrar a interseção
e a soma
de dois subespaços no espaço vetorial
. O subespaço
é formado pelos vetores onde
, ou seja,
. Já o subespaço
é formado pelos vetores que satisfazem a equação
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de subespaços, interseção e soma de subespaços, além de entender como encontrar geradores para esses conjuntos.
Passo 2
Vamos começar encontrando a interseção
. Isso significa encontrar todos os vetores que estão tanto em
quanto em
.
Sabemos que:
- Em
, , então qualquer vetor em tem a forma . - Em
, os vetores satisfazem .
Então, substituindo
na equação de
, temos:
Portanto, os vetores na interseção
têm a forma
, onde
pode ser qualquer número real.
Passo 3
Agora, vamos pensar na soma
. A soma de dois subespaços é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de
e um vetor de
.
- Um vetor em
é . - Um vetor em
é , onde .
A soma desses vetores é:
Como
pode ser qualquer número real (desde que
), ao combinar os vetores de
e
, cobrimos todo o espaço
. Portanto, a soma
é igual a
.
Resposta
- A interseção
é o conjunto , com gerador . - A soma
é todo o espaço , e seus geradores podem ser, por exemplo, , e .