Considere A B=(1,0,1), A C= (1,2,3) e A D=(0,1,5).
Calcule a distância de B à reta over<=ftrightarrowA C, isto é, encontre a altura do triângulo ABC relativa ao vértice B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a distância do ponto B até a reta que passa por A e C. Isso, na prática, é a altura do triângulo ABC em relação ao vértice B. Para resolver, vamos usar conceitos de vetores e geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a distância de um ponto a uma reta no espaço pode ser encontrada usando o produto vetorial. A fórmula é:
d = ||AB times AC||||AC||
Aqui, AB é o vetor que vai de A para B, e AC é o vetor que vai de A para C.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial entre AB e AC. Primeiro, identificamos os componentes dos vetores:
AB = (1, 0, 1) AC = (1, 2, 3)
O produto vetorial AB times AC é dado por:
AB times AC = i & j & k 1 & 0 & 1 1 & 2 & 3 = i(0 cdot 3 - 1 cdot 2) - j(1 cdot 3 - 1 cdot 1) + k(1 cdot 2 - 0 cdot 1)
Simplificando:
AB times AC = (-2)i - (2)j + (2)k = (-2, -2, 2)

Passo 4

Agora, vamos calcular a magnitude desse vetor resultante:
||AB times AC|| = raiz(-2)^2 + (-2)^2 + 2^2 = raiz4 + 4 + 4 = raiz12 = 2raiz3

Passo 5

Em seguida, calculamos a magnitude do vetor AC:
||AC|| = raiz1^2 + 2^2 + 3^2 = raiz1 + 4 + 9 = raiz14

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula da distância:
d = 2raiz3raiz14 = 2raiz3raiz14 times raiz14raiz14 = 2raiz4214 = raiz427

Resposta

A distância do ponto B à reta AC é raiz427 unidades.

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