Verificar se são LI ou LD os seguintes conjuntos:
e) (1,-1,1),(-1,1,1) subset R^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer saber se o conjunto de vetores (1,-1,1), (-1,1,1) em R^3 é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD). Isso está dentro do álgebra linear, especificamente no estudo de independência linear. Para resolver, vamos precisar entender o que significa vetores serem LI ou LD e como testar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente ou dependente. Vetores são linearmente independentes se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela onde todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se a equação c1 v1 + c2 v2 = 0 só tem a solução c1 = c2 = 0, então os vetores são LI. Se existir alguma outra solução onde pelo menos um dos coeficientes não é zero, os vetores são LD.

Passo 3

Vamos aplicar isso aos vetores que temos:
v1 = (1, -1, 1) e v2 = (-1, 1, 1).
Queremos encontrar escalares c1 e c2 tais que:
c1 (1, -1, 1) + c2 (-1, 1, 1) = (0, 0, 0)

Passo 4

Isso resulta no seguinte sistema de equações:
c1 cdot 1 + c2 cdot (-1) = 0 c1 cdot (-1) + c2 cdot 1 = 0 c1 cdot 1 + c2 cdot 1 = 0
Ou simplificando:
c1 - c2 = 0 -c1 + c2 = 0 c1 + c2 = 0

Passo 5

Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação:
c1 - c2 = 0 implies c1 = c2
Da segunda equação:
-c1 + c2 = 0 implies -c1 + c1 = 0 implies 0 = 0
A terceira equação:
c1 + c2 = 0
Substituindo c2 = c1 na terceira:
c1 + c1 = 0 implies 2c1 = 0 implies c1 = 0
Então, c2 = c1 = 0.

Passo 6

Encontramos que a única solução para o sistema é c1 = 0 e c2 = 0. Isso significa que a única combinação linear dos vetores v1 e v2 que resulta no vetor zero é quando ambos os coeficientes são zero.

Resposta

Os vetores (1,-1,1), (-1,1,1) são linearmente independentes (LI).

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