Verificar se são LI ou LD os seguintes conjuntos:
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer saber se o conjunto de vetores em é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD). Isso está dentro do álgebra linear, especificamente no estudo de independência linear. Para resolver, vamos precisar entender o que significa vetores serem LI ou LD e como testar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente ou dependente. Vetores são linearmente independentes se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela onde todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se a equação só tem a solução , então os vetores são LI. Se existir alguma outra solução onde pelo menos um dos coeficientes não é zero, os vetores são LD.
Passo 3
Vamos aplicar isso aos vetores que temos: e .
Queremos encontrar escalares e tais que:
Passo 4
Isso resulta no seguinte sistema de equações:
Ou simplificando:
c1 - c2 = 0 -c1 + c2 = 0 c1 + c2 = 0
Passo 5
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação:
c1 - c2 = 0 implies c1 = c2
Da segunda equação:
-c1 + c2 = 0 implies -c1 + c1 = 0 implies 0 = 0
A terceira equação:
c1 + c2 = 0
Substituindo c2 = c1 na terceira:
c1 + c1 = 0 implies 2c1 = 0 implies c1 = 0
Então, c2 = c1 = 0.
Passo 6
Encontramos que a única solução para o sistema é c1 = 0 e c2 = 0. Isso significa que a única combinação linear dos vetores v1 e v2 que resulta no vetor zero é quando ambos os coeficientes são zero.
Resposta
Os vetores (1,-1,1), (-1,1,1) são linearmente independentes (LI).