Em cada item a seguir, determine os valores máximo e mínimo globais da função dada no intervalo dado.
(a) f(x) = 12 + 4 x - x^2, [0, 5]
(b) f(x) = (x^2 - 4)^3, [-2, 3]
© f(x) = x + 1/x, [2/10, 4]
(d) f(x) = x / (x^2 - x + 1), [0, 3]
(e) g(t) = e^t / (1 + t^2), [0, 3]
(f) f(x) = 2 cos(x) + sen(2x), [0, pi/2]
(g) f(x) = ln(x^2 + x + 1), [-1, 1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver o item (a). A questão pede para a gente encontrar os valores máximo e mínimo globais da função no intervalo . Isso envolve entender funções quadráticas e como identificar seus pontos mais altos e baixos dentro de um intervalo específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função quadrática tem a forma geral . No nosso caso, , , e . Como o coeficiente de é negativo ( ), sabemos que o gráfico da função é uma parábola que abre para baixo, ou seja, tem um ponto máximo.

Passo 3

Para encontrar o ponto máximo da parábola, precisamos encontrar o vértice da mesma. A coordenada do vértice pode ser encontrada pela fórmula:
Substituindo os valores:
Então, o ponto é onde a função atinge o valor máximo.

Passo 4

Agora, vamos calcular o valor da função nesse ponto:
Então, o valor máximo da função no intervalo é 16.

Passo 5

Além do ponto máximo interno, precisamos verificar os valores da função nos extremos do intervalo para encontrar o mínimo global. Vamos calcular e :
Para :
Para :

Passo 6

Comparando os valores:
  • (máximo)
  • (mínimo)

Resposta

O valor máximo global da função no intervalo é 16 e o valor mínimo global é 7.

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