Quando há uma voltagem impressa E(t) no circuito, as vibrações elétricas são chamadas de forçadas. No caso em que R != 0, a função complementar qc(t) é chamada de solução transiente. Se E(t) for periódica ou constante, então a solução particular qp(t) será uma solução estacionária.
Encontre a carga estacionária em um circuito em série RLC quando L=1 hanry, R = 2 ohms, C = 0,25 farad e E(t) = 50 cos(t) volts.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um circuito RLC em série com os seguintes valores: indutância henry, resistência ohms, capacitância farad e uma voltagem aplicada volts. Queremos encontrar a carga estacionária, ou seja, a carga que fica estabilizada no circuito depois de um tempo. Para isso, vamos precisar usar as equações que descrevem o comportamento de um circuito RLC forçado.

Passo 2

Primeiro, lembra que num circuito RLC em série a equação diferencial que descreve a carga q(t) no capacitor é:
Vamos substituir os valores que temos na equação:
Simplificando:

Passo 3

Agora, como queremos a solução estacionária, ignoramos a solução transitória (porque ela some com o tempo) e focamos na solução particular . Como o lado direito da equação é um cosseno, vamos assumir que a solução particular também tem a forma de cosseno e seno. Então, suponha:
Onde A e B são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 5

Substituindo e suas derivadas na equação diferencial:
Simplificando os termos:
Agrupando os termos de e :
Isso resulta em:

Passo 6

Para que essa igualdade seja verdadeira para todo t, os coeficientes de e devem ser iguais nos dois lados:

Passo 7

Agora que encontramos A e B, podemos escrever a solução particular:

Resposta

A carga estacionária no circuito é:

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