Quando há uma voltagem impressa
no circuito, as vibrações elétricas são chamadas de forçadas. No caso em que
, a função complementar
é chamada de solução transiente. Se
for periódica ou constante, então a solução particular
será uma solução estacionária.
Encontre a carga estacionária em um circuito em série RLC quando
hanry,
ohms,
farad e
volts.
Encontre a carga estacionária em um circuito em série RLC quando
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um circuito RLC em série com os seguintes valores: indutância
henry, resistência
ohms, capacitância
farad e uma voltagem aplicada
volts. Queremos encontrar a carga estacionária, ou seja, a carga que fica estabilizada no circuito depois de um tempo. Para isso, vamos precisar usar as equações que descrevem o comportamento de um circuito RLC forçado.
Passo 2
Primeiro, lembra que num circuito RLC em série a equação diferencial que descreve a carga
no capacitor é:
Vamos substituir os valores que temos na equação:
Simplificando:
Passo 3
Agora, como queremos a solução estacionária, ignoramos a solução transitória (porque ela some com o tempo) e focamos na solução particular
. Como o lado direito da equação é um cosseno, vamos assumir que a solução particular também tem a forma de cosseno e seno. Então, suponha:
Onde
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 5
Substituindo
e suas derivadas na equação diferencial:
Simplificando os termos:
Agrupando os termos de
e
:
Isso resulta em:
Passo 6
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo
, os coeficientes de
e
devem ser iguais nos dois lados:
Passo 7
Agora que encontramos
e
, podemos escrever a solução particular:
Resposta
A carga estacionária no circuito é:
Exercícios relacionados
Classifique as equações abaixo quanto ao tipo, a ordem e a linearidade.
Em cada item a seguir, determine os valores máximo e mínimo globais da função dada no intervalo dado.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
Classifique as equações abaixo quanto ao tipo, a ordem e a linearidade.
Em cada item a seguir, encontre os intervalos de crescimento e decrescimento da função dada. Em seguida, determine seus pontos de máximo e mínimo locais interiores (se existirem).
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)