Quando há uma voltagem impressa E(t) no circuito, as vibrações elétricas são chamadas de forçadas. No caso em que R != 0, a função complementar qc(t) é chamada de solução transiente. Se E(t) for periódica ou constante, então a solução particular qp(t) será uma solução estacionária.
Encontre a carga estacionária em um circuito em série RLC quando L=1 hanry, R = 2 ohms, C = 0,25 farad e E(t) = 50 cos(t) volts.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um circuito RLC em série com os seguintes valores: indutância henry, resistência ohms, capacitância farad e uma voltagem aplicada volts. Queremos encontrar a carga estacionária, ou seja, a carga que fica estabilizada no circuito depois de um tempo. Para isso, vamos precisar usar as equações que descrevem o comportamento de um circuito RLC forçado.

Passo 2

Primeiro, lembra que num circuito RLC em série a equação diferencial que descreve a carga q(t) no capacitor é:
Vamos substituir os valores que temos na equação:
Simplificando:

Passo 3

Agora, como queremos a solução estacionária, ignoramos a solução transitória (porque ela some com o tempo) e focamos na solução particular . Como o lado direito da equação é um cosseno, vamos assumir que a solução particular também tem a forma de cosseno e seno. Então, suponha:
Onde A e B são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 5

Substituindo e suas derivadas na equação diferencial:
Simplificando os termos:
Agrupando os termos de e :
Isso resulta em:

Passo 6

Para que essa igualdade seja verdadeira para todo t, os coeficientes de e devem ser iguais nos dois lados:

Passo 7

Agora que encontramos A e B, podemos escrever a solução particular:

Resposta

A carga estacionária no circuito é:

Exercícios relacionados

Classifique as equações abaixo quanto ao tipo, a ordem e a linearidade.
y' + t y = 0
Em cada item a seguir, determine os valores máximo e mínimo globais da função dada no intervalo dado.
(a) f(x) = 12 + 4 x - x^2, [0, 5]
(b) f(x) = (x^2 - 4)^3, [-2, 3]
© f(x) = x + 1/x, [2/10, 4]
(d) f(x) = x / (x^2 - x + 1), [0, 3]
(e) g(t) = e^t / (1 + t^2), [0, 3]
(f) f(x) = 2 cos(x) + sen(2x), [0, pi/2]
(g) f(x) = ln(x^2 + x + 1), [-1, 1]
Classifique as equações abaixo quanto ao tipo, a ordem e a linearidade.
(c) x^2 dy + (sen x - x y - x e^x) dx = 0
Em cada item a seguir, encontre os intervalos de crescimento e decrescimento da função dada. Em seguida, determine seus pontos de máximo e mínimo locais interiores (se existirem).
(a) f(x) = 2x^3 - 15x^2 + 24x - 5
(b) f(x) = (x^2 - 24) / (x - 5)
© f(x) = x + 4/x^2
(d) g(t) = t^4 * e^(-t)