Para cada item a seguir, determine y', usando derivação implícita:
b) sen(x) + cos(y) = e^(4y).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivação implícita. A gente tem a equação e precisamos encontrar , que é a derivada de em relação a . Para isso, vamos usar o método de derivação implícita, que é útil quando não está isolada.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar cada termo da equação em relação a . Lembre-se que, ao derivar termos que envolvem , precisamos multiplicar pela derivada de em relação a , ou seja, , usando a regra da cadeia.

Passo 3

Derivando em relação a , a gente tem:

Passo 4

Agora, derivando em relação a , usamos a regra da cadeia:

Passo 5

Por fim, derivamos em relação a :
Aqui, aplicamos a regra da cadeia novamente, já que é uma função de .

Passo 6

Agora vamos juntar todas essas derivadas na equação original:

Passo 7

Nosso objetivo é isolar . Vamos mover o termo com do lado esquerdo para o lado direito:

Passo 8

Fatorando do lado direito:

Passo 9

Finalmente, isolamos dividindo ambos os lados pela expressão que está multiplicando :

Resposta

A derivada é dada por:

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