Para cada item a seguir, determine
, usando derivação implícita:
b)
.
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivação implícita. A gente tem a equação
e precisamos encontrar
, que é a derivada de
em relação a
. Para isso, vamos usar o método de derivação implícita, que é útil quando
não está isolada.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar cada termo da equação em relação a
. Lembre-se que, ao derivar termos que envolvem
, precisamos multiplicar pela derivada de
em relação a
, ou seja,
, usando a regra da cadeia.
Passo 3
Derivando
em relação a
, a gente tem:
Passo 4
Agora, derivando
em relação a
, usamos a regra da cadeia:
Passo 5
Por fim, derivamos
em relação a
:
Aqui, aplicamos a regra da cadeia novamente, já que
é uma função de
.
Passo 6
Agora vamos juntar todas essas derivadas na equação original:
Passo 7
Nosso objetivo é isolar
. Vamos mover o termo com
do lado esquerdo para o lado direito:
Passo 8
Fatorando
do lado direito:
Passo 9
Finalmente, isolamos
dividindo ambos os lados pela expressão que está multiplicando
:
Resposta
A derivada
é dada por: