Para cada item a seguir, determine y', usando derivação implícita:
d) y * x^3 - cos(x) * sen(y) = 7 * x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação e precisa encontrar usando a derivação implícita. Basicamente, vamos usar cálculo para descobrir a taxa de variação de em relação a , mesmo que esteja meio escondida na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Isso significa que aplicamos a derivada em cada termo da equação.

Passo 3

Vamos começar com o primeiro termo: . Aqui usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .
Então, a derivada de é:

Passo 4

Agora, vamos para o segundo termo: . Aqui usamos a regra da cadeia, porque é função de .
A derivada de é:

Passo 5

No lado direito da equação, temos . A derivada disso é simples:

Passo 6

Agora, juntando tudo que derivamos, a equação fica:

Passo 7

Vamos isolar os termos que contêm . Vamos juntar esses termos de um lado e os demais do outro:

Passo 8

Agora, vamos fatorar do lado esquerdo:

Passo 9

Para encontrar , basta dividir ambos os lados pela expressão que está multiplicando :

Resposta

A derivada é:

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