Em cada item a seguir, encontre os intervalos de crescimento e decrescimento da função dada. Em seguida, determine seus pontos de máximo e mínimo locais interiores (se existirem).
(a) f(x) = 2x^3 - 15x^2 + 24x - 5
(b) f(x) = (x^2 - 24) / (x - 5)
© f(x) = x + 4/x^2
(d) g(t) = t^4 * e^(-t)

Passo 1

Vamos resolver a primeira parte do exercício. Aqui, queremos encontrar os intervalos onde a função está aumentando ou diminuindo. Para isso, vamos usar o cálculo de derivadas, que nos ajuda a determinar o comportamento crescente ou decrescente da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a taxa de variação da função em cada ponto.
Calculando cada termo:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos onde a função pode mudar de crescente para decrescente ou vice-versa, vamos resolver :
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 6:

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática por fatoração:
Então, as soluções são:

Passo 5

Agora, vamos analisar os intervalos determinados por esses pontos críticos para ver onde a função está aumentando ou diminuindo. Vamos escolher um valor de em cada intervalo e verificar o sinal de :
  1. Para , digamos :
  1. Para , digamos :
  1. Para , digamos :

Passo 6

Com base nisso, identificamos que:
  • A função é crescente no intervalo e .
  • A função é decrescente no intervalo .
Além disso, os pontos e são candidatos a pontos de máximo ou mínimo locais.

Passo 7

Para determinar se esses pontos são máximos ou mínimos, analisamos a derivada segunda ou observamos a mudança de crescente para decrescente e vice-versa.
  • Em , a função muda de crescente para decrescente, indicando um máximo local.
  • Em , a função muda de decrescente para crescente, indicando um mínimo local.

Passo 8

Agora, vamos para a segunda parte do exercício: . Queremos encontrar onde essa função está aumentando ou diminuindo e seus pontos de máximo e mínimo locais.

Passo 9

Primeiro, observamos que a função é uma razão de polinômios, então devemos verificar onde a função está definida. O denominador não pode ser zero, ou seja, .

Passo 10

Vamos encontrar a derivada de usando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então, a derivada é:

Passo 11

Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Resolvendo a equação quadrática:

Passo 12

Analisando os intervalos determinados por e :
  1. Para , digamos :
  1. Para , digamos :
  1. Para , digamos :
  1. Para , digamos :

Passo 13

Com isso, identificamos que:
  • A função é crescente no intervalo e .
  • A função é decrescente nos intervalos .

Passo 14

Para determinar se os pontos e são máximos ou mínimos:
  • Em , a função muda de crescente para decrescente, indicando um máximo local.
  • Em , a função muda de decrescente para crescente, indicando um mínimo local.

Passo 15

Vamos resolver a terceira parte: . Precisamos determinar onde essa função está aumentando ou diminuindo e identificar possíveis pontos de máximo ou mínimo.

Passo 16

Primeiro, identificamos que a função está definida para devido ao termo .

Passo 17

Vamos encontrar a derivada de :

Passo 18

Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:

Passo 19

Agora, analisamos os intervalos determinados por :
  1. Para , digamos :
  1. Para , digamos :

Passo 20

Com isso, concluímos que:
  • A função é decrescente no intervalo .
  • A função é crescente no intervalo .

Passo 21

No ponto , a função muda de decrescente para crescente, indicando um mínimo local.

Passo 22

Por fim, vamos resolver a quarta parte: . Queremos determinar onde essa função está aumentando ou diminuindo e identificar possíveis pontos de máximo ou mínimo.

Passo 23

Primeiro, notamos que a função é definida para todos os valores de .

Passo 24

Vamos encontrar a derivada de usando a regra do produto:
Podemos fatorar :

Passo 25

Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Sabemos que nunca é zero, então:
Portanto, as soluções são e .

Passo 26

Analisamos os intervalos determinados por e :
  1. Para , digamos :
  1. Para , digamos :
  1. Para , digamos :

Passo 27

Com isso, identificamos que:
  • A função é decrescente em .
  • A função é crescente em .
  • A função é decrescente em .

Passo 28

No ponto , a função muda de crescente para decrescente, indicando um máximo local. No ponto , a função muda de decrescente para crescente, indicando um mínimo local, mas devemos verificar se realmente é um mínimo.
Ao analisar :
Como para , a função começa a crescer, o ponto é um mínimo local.

Resposta

A função é:
  • Decrescente no intervalo .
  • Crescente no intervalo .
  • Decrescente no intervalo .
Possui um mínimo local em e um máximo local em .

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