Em cada item a seguir, encontre os intervalos de crescimento e decrescimento da função dada. Em seguida, determine seus pontos de máximo e mínimo locais interiores (se existirem).
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
Vamos resolver a primeira parte do exercício. Aqui, queremos encontrar os intervalos onde a função
está aumentando ou diminuindo. Para isso, vamos usar o cálculo de derivadas, que nos ajuda a determinar o comportamento crescente ou decrescente da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a taxa de variação da função em cada ponto.
Calculando cada termo:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos onde a função pode mudar de crescente para decrescente ou vice-versa, vamos resolver
:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 6:
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática
por fatoração:
Então, as soluções são:
Passo 5
Agora, vamos analisar os intervalos determinados por esses pontos críticos para ver onde a função está aumentando ou diminuindo. Vamos escolher um valor de
em cada intervalo e verificar o sinal de
:
- Para
, digamos :
- Para
, digamos :
- Para
, digamos :
Passo 6
Com base nisso, identificamos que:
- A função é crescente no intervalo
e . - A função é decrescente no intervalo
.
Além disso, os pontos
e
são candidatos a pontos de máximo ou mínimo locais.
Passo 7
Para determinar se esses pontos são máximos ou mínimos, analisamos a derivada segunda ou observamos a mudança de crescente para decrescente e vice-versa.
- Em
, a função muda de crescente para decrescente, indicando um máximo local. - Em
, a função muda de decrescente para crescente, indicando um mínimo local.
Passo 8
Agora, vamos para a segunda parte do exercício:
. Queremos encontrar onde essa função está aumentando ou diminuindo e seus pontos de máximo e mínimo locais.
Passo 9
Primeiro, observamos que a função é uma razão de polinômios, então devemos verificar onde a função está definida. O denominador
não pode ser zero, ou seja,
.
Passo 10
Vamos encontrar a derivada de
usando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então, a derivada é:
Passo 11
Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Resolvendo a equação quadrática:
Passo 12
Analisando os intervalos determinados por
e
:
- Para
, digamos :
- Para
, digamos :
- Para
, digamos :
- Para
, digamos :
Passo 13
Com isso, identificamos que:
- A função é crescente no intervalo
e . - A função é decrescente nos intervalos
.
Passo 14
Para determinar se os pontos
e
são máximos ou mínimos:
- Em
, a função muda de crescente para decrescente, indicando um máximo local. - Em
, a função muda de decrescente para crescente, indicando um mínimo local.
Passo 15
Vamos resolver a terceira parte:
. Precisamos determinar onde essa função está aumentando ou diminuindo e identificar possíveis pontos de máximo ou mínimo.
Passo 16
Primeiro, identificamos que a função está definida para
devido ao termo
.
Passo 17
Vamos encontrar a derivada de
:
Passo 18
Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Passo 19
Agora, analisamos os intervalos determinados por
:
- Para
, digamos :
- Para
, digamos :
Passo 20
Com isso, concluímos que:
- A função é decrescente no intervalo
. - A função é crescente no intervalo
.
Passo 21
No ponto
, a função muda de decrescente para crescente, indicando um mínimo local.
Passo 22
Por fim, vamos resolver a quarta parte:
. Queremos determinar onde essa função está aumentando ou diminuindo e identificar possíveis pontos de máximo ou mínimo.
Passo 23
Primeiro, notamos que a função
é definida para todos os valores de
.
Passo 24
Vamos encontrar a derivada de
usando a regra do produto:
Podemos fatorar
:
Passo 25
Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Sabemos que
nunca é zero, então:
Portanto, as soluções são
e
.
Passo 26
Analisamos os intervalos determinados por
e
:
- Para
, digamos :
- Para
, digamos :
- Para
, digamos :
Passo 27
Com isso, identificamos que:
- A função é decrescente em
. - A função é crescente em
. - A função é decrescente em
.
Passo 28
No ponto
, a função muda de crescente para decrescente, indicando um máximo local. No ponto
, a função muda de decrescente para crescente, indicando um mínimo local, mas devemos verificar se realmente é um mínimo.
Ao analisar
:
Como para
, a função começa a crescer, o ponto
é um mínimo local.
Resposta
A função
é:
- Decrescente no intervalo
. - Crescente no intervalo
. - Decrescente no intervalo
.
Possui um mínimo local em
e um máximo local em
.
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, a função complementar
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