Classifique as equações abaixo quanto ao tipo, a ordem e a linearidade.
(c) x^2 dy + (sen x - x y - x e^x) dx = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a seguinte equação diferencial:
Nosso objetivo é classificar essa equação quanto ao tipo, à ordem e à linearidade. Para fazer isso, vamos lembrar alguns conceitos básicos sobre equações diferenciais ordinárias (EDOs):
  • Tipo: Refere-se à forma geral da equação, como exata, linear, separável, etc.
  • Ordem: É a maior derivada presente na equação. Aqui, estamos lidando com uma equação de primeira ordem porque só temos .
  • Linearidade: Uma equação é linear se a função desconhecida e suas derivadas aparecem apenas na primeira potência e não estão multiplicadas entre si.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para a forma padrão de uma equação diferencial:
Podemos dividir tudo por para deixar a equação na forma de :
Então:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos analisar a linearidade. A equação está na forma linear:
Onde e . Aqui, a função aparece apenas na primeira potência e não está multiplicada por ou por si mesma. Portanto, a equação é linear.

Passo 4

Quanto ao tipo, observamos que a equação está linear e de primeira ordem. Além disso, ela não é homogênea devido à presença da função . Portanto, a equação é uma equação linear de primeira ordem não homogênea.

Passo 5

Resumindo:
  • Tipo: Equação linear de primeira ordem não homogênea.
  • Ordem: Primeira ordem.
  • Linearidade: Linear.

Resposta

A equação dada é uma equação diferencial linear de primeira ordem.

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