Para cada item a seguir, faça o que se pede: Dada a função f(x)=\cos ^{2} x, determine a derivada de ordem e calcule .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão pede. Temos a função e precisamos encontrar a sua derivada de ordem . Depois, com essa derivada geral, vamos calcular a décima derivada de no ponto . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente derivadas de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
Isso facilita a diferenciação, pois agora temos uma soma de funções mais simples.

Passo 3

Agora, vamos reescrever com essa identidade:
Essa forma é mais fácil de derivar várias vezes.

Passo 4

Vamos derivar . A derivada da constante é zero. Para , usamos a regra da cadeia:
Percebemos que cada derivada vai alternar entre funções seno e cosseno, multiplicadas por potências de 2.

Passo 5

Vamos generalizar a -ésima derivada. Observando o padrão das derivadas:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos calcular . Substituindo e na expressão geral:
Sabemos que , então:

Resposta

A décima derivada de no ponto é .

Exercícios relacionados

Para cada item a seguir, faça o que se pede: Dada a função f(x)=\frac{1}{x}, determine a derivada de ordem e calcule .
A função é crescente para . Se é a função inversa de neste intervalo, encontre .
Determine os intervalos de crescimento e decrescimento das seguintes funções:
Determine a derivada de cada função a seguir: