Para cada item a seguir, faça o que se pede: Dada a função f(x)=\cos ^{2} x, determine a derivada de ordem
e calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão pede. Temos a função
e precisamos encontrar a sua derivada de ordem
. Depois, com essa derivada geral, vamos calcular a décima derivada de
no ponto
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente derivadas de funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função
usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
Isso facilita a diferenciação, pois agora temos uma soma de funções mais simples.
Passo 3
Agora, vamos reescrever
com essa identidade:
Essa forma é mais fácil de derivar várias vezes.
Passo 4
Vamos derivar
. A derivada da constante
é zero. Para
, usamos a regra da cadeia:
Percebemos que cada derivada vai alternar entre funções seno e cosseno, multiplicadas por potências de 2.
Passo 5
Vamos generalizar a
-ésima derivada. Observando o padrão das derivadas:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos calcular
. Substituindo
e
na expressão geral:
Sabemos que
, então:
Resposta
A décima derivada de
no ponto
é
.
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Para cada item a seguir, faça o que se pede: Dada a função f(x)=\frac{1}{x}, determine a derivada de ordem
e calcule
.
A função
é crescente para
. Se
é a função inversa de
neste intervalo, encontre
.
Determine os intervalos de crescimento e decrescimento das seguintes funções:
Determine a derivada de cada função a seguir: