Determine a derivada de cada função a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar a derivada da função . Estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas de funções que são produtos de duas outras funções. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra do Produto.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a Regra do Produto. Quando temos uma função que é o produto de duas funções, ou seja, , a derivada dessa função é dada por:
Isso significa que a derivada do produto é a derivada da primeira função vezes a segunda, mais a primeira função vezes a derivada da segunda.

Passo 3

Agora, vamos identificar as duas funções que estão sendo multiplicadas na nossa função original :

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de e :
A derivada de é uma fórmula conhecida que usamos aqui.

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra do Produto com as derivadas que encontramos:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A derivada da função é:

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Determine os intervalos de crescimento e decrescimento das seguintes funções:
Para cada item a seguir, faça o que se pede: Dada a função f(x)=\cos ^{2} x, determine a derivada de ordem e calcule .
Utilizando derivação implícita, determine :
Utilizando derivação implícita, determine :