A função
é crescente para
. Se
é a função inversa de
neste intervalo, encontre
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. A função dada é
, que é crescente para
. Queremos encontrar a derivada da função inversa
de
nesse intervalo, especificamente
. Para resolver isso, vamos precisar entender funções inversas e como calcular suas derivadas.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o valor de
tal que
, já que
é a inversa de
e queremos
. Então, resolvemos a equação:
Passo 3
Fatorando a equação:
Isso nos dá as soluções:
Passo 4
Como a função
é crescente apenas para
, precisamos escolher a solução que está nesse intervalo. Das soluções
,
, e
, apenas
está na região onde
é crescente.
Portanto,
.
Passo 5
Agora, vamos usar a fórmula da derivada da função inversa. Se
é a inversa de
, então:
Queremos encontrar
, então substituímos
:
Passo 6
Já sabemos que
. Então, precisamos calcular
.
Primeiro, encontramos a derivada de
:
Substituindo
:
Passo 7
Agora, substituímos
na fórmula da derivada da inversa:
Resposta
Portanto,
.
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Determine a equação da reta tangente à curva no ponto indicado:
em
Utilizando derivação implícita, determine
:
Para cada item a seguir, faça o que se pede: Dada a função f(x)=\frac{1}{x}, determine a derivada de ordem
e calcule
.
Para cada item a seguir, faça o que se pede: Dada a função f(x)=\cos ^{2} x, determine a derivada de ordem
e calcule
.