A função é crescente para . Se é a função inversa de neste intervalo, encontre .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. A função dada é , que é crescente para . Queremos encontrar a derivada da função inversa de nesse intervalo, especificamente . Para resolver isso, vamos precisar entender funções inversas e como calcular suas derivadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o valor de tal que , já que é a inversa de e queremos . Então, resolvemos a equação:

Passo 3

Fatorando a equação:
Isso nos dá as soluções:

Passo 4

Como a função é crescente apenas para , precisamos escolher a solução que está nesse intervalo. Das soluções , , e , apenas está na região onde é crescente.
Portanto, .

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula da derivada da função inversa. Se é a inversa de , então:
Queremos encontrar , então substituímos :

Passo 6

Já sabemos que . Então, precisamos calcular .
Primeiro, encontramos a derivada de :
Substituindo :

Passo 7

Agora, substituímos na fórmula da derivada da inversa:

Resposta

Portanto, .

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Determine a equação da reta tangente à curva no ponto indicado: em
Utilizando derivação implícita, determine :
Para cada item a seguir, faça o que se pede: Dada a função f(x)=\frac{1}{x}, determine a derivada de ordem e calcule .
Para cada item a seguir, faça o que se pede: Dada a função f(x)=\cos ^{2} x, determine a derivada de ordem e calcule .