Para cada item a seguir, faça o que se pede: Dada a função f(x)=\frac{1}{x}, determine a derivada de ordem
e calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente trabalhar com a função
. Nosso objetivo é determinar a derivada de ordem
dessa função e, em seguida, calcular
. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre derivadas e como calcular derivadas de ordens superiores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma derivada de ordem
. A derivada de primeira ordem (
) é a taxa de variação da função. A derivada de segunda ordem (
) é a taxa de variação da primeira derivada, e assim por diante, até a ordem
. Nosso objetivo é encontrar uma fórmula geral para a derivada de ordem
da função
.
Passo 3
Vamos começar calculando as primeiras derivadas para identificar um padrão.
-
Primeira Derivada (
): -
Segunda Derivada (
): -
Terceira Derivada (
):
Observamos que a derivada de cada ordem aumenta o expoente de
e alterna o sinal.
Passo 4
Pelo padrão observado, podemos generalizar a
-ésima derivada de
como:
Aqui,
(fatorial de
) aparece devido à multiplicação sequencial dos coeficientes ao derivar repetidamente.
Passo 5
Agora, vamos calcular
usando a fórmula que encontramos:
Resposta
A derivada de ordem
da função
é
e
.
Exercícios relacionados
A função
é crescente para
. Se
é a função inversa de
neste intervalo, encontre
.
Determine a equação da reta tangente à curva no ponto indicado:
em
Para cada item a seguir, faça o que se pede: Dada a função f(x)=\cos ^{2} x, determine a derivada de ordem
e calcule
.
Determine os intervalos de crescimento e decrescimento das seguintes funções: