Para cada item a seguir, faça o que se pede: Dada a função f(x)=\frac{1}{x}, determine a derivada de ordem e calcule .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente trabalhar com a função . Nosso objetivo é determinar a derivada de ordem dessa função e, em seguida, calcular . Para resolver isso, vamos precisar saber sobre derivadas e como calcular derivadas de ordens superiores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma derivada de ordem . A derivada de primeira ordem ( ) é a taxa de variação da função. A derivada de segunda ordem ( ) é a taxa de variação da primeira derivada, e assim por diante, até a ordem . Nosso objetivo é encontrar uma fórmula geral para a derivada de ordem da função .

Passo 3

Vamos começar calculando as primeiras derivadas para identificar um padrão.
  1. Primeira Derivada ( ):
  2. Segunda Derivada ( ):
  3. Terceira Derivada ( ):
Observamos que a derivada de cada ordem aumenta o expoente de e alterna o sinal.

Passo 4

Pelo padrão observado, podemos generalizar a -ésima derivada de como:
Aqui, (fatorial de ) aparece devido à multiplicação sequencial dos coeficientes ao derivar repetidamente.

Passo 5

Agora, vamos calcular usando a fórmula que encontramos:

Resposta

A derivada de ordem da função é e .

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A função é crescente para . Se é a função inversa de neste intervalo, encontre .
Determine a equação da reta tangente à curva no ponto indicado: em
Para cada item a seguir, faça o que se pede: Dada a função f(x)=\cos ^{2} x, determine a derivada de ordem e calcule .
Determine os intervalos de crescimento e decrescimento das seguintes funções: