Para cada item a seguir, faça o que se pede: Dada a função f(x)=e^{2 x}, determine a derivada de ordem
e calcule
.
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é a função
. O exercício pede pra gente encontrar a derivada de ordem
dessa função e, depois, calcular
. A matéria que entra nessa é derivada, especificamente derivadas de funções exponenciais, e vamos precisar saber como derivar funções desse tipo repetidamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a derivada da função exponencial. Se temos
, onde
é uma constante, a derivada de primeira ordem é
. Isso porque a derivada de
em relação a
é
.
Passo 3
Agora, vamos pensar na derivada de ordem
. Cada vez que derivamos
, a constante 2 vai ficar multiplicando de novo. Então, a segunda derivada será
, a terceira derivada será
, e assim por diante.
Passo 4
De forma geral, podemos ver que a
-ésima derivada de
será
. Isso porque a constante 2 é multiplicada a cada derivação, e como estamos derivando
vezes, ela fica elevada à potência
.
Passo 5
Agora que temos a expressão para a
-ésima derivada, vamos calcular
. Basta substituir
na expressão que encontramos:
Resposta
A derivada de ordem
da função
é
, e
.
Exercícios relacionados
Determine a equação da reta tangente à curva no ponto indicado:
Utilizando derivação implícita, determine
:
Calcule, se possível, os seguintes limites:
Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão: