Para cada item a seguir, faça o que se pede: Dada a função f(x)=e^{2 x}, determine a derivada de ordem e calcule .

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é a função . O exercício pede pra gente encontrar a derivada de ordem dessa função e, depois, calcular . A matéria que entra nessa é derivada, especificamente derivadas de funções exponenciais, e vamos precisar saber como derivar funções desse tipo repetidamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a derivada da função exponencial. Se temos , onde é uma constante, a derivada de primeira ordem é . Isso porque a derivada de em relação a é .

Passo 3

Agora, vamos pensar na derivada de ordem . Cada vez que derivamos , a constante 2 vai ficar multiplicando de novo. Então, a segunda derivada será , a terceira derivada será , e assim por diante.

Passo 4

De forma geral, podemos ver que a -ésima derivada de será . Isso porque a constante 2 é multiplicada a cada derivação, e como estamos derivando vezes, ela fica elevada à potência .

Passo 5

Agora que temos a expressão para a -ésima derivada, vamos calcular . Basta substituir na expressão que encontramos:

Resposta

A derivada de ordem da função é , e .

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Determine a equação da reta tangente à curva no ponto indicado:
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