Determine a equação da reta tangente à curva no ponto indicado: sen(x y) = x em(1, pi/2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a equação da reta tangente à curva definida por no ponto . Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas implícitas, já que a equação envolve tanto x quanto y de forma misturada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma reta tangente. A reta tangente a uma curva em um ponto específico é a reta que “toca” a curva apenas nesse ponto e tem a mesma inclinação da curva naquele ponto. Para encontrar essa reta, precisamos determinar sua inclinação, que é dada pela derivada da função no ponto em questão.

Passo 3

Como a equação da curva é , não está fácil isolarmos y. Por isso, vamos usar a derivada implícita. Isso significa que vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x, tratando y como uma função de x.

Passo 4

Vamos derivar ambos os lados:
Aplicando a regra da cadeia no lado esquerdo:

Passo 5

Agora, vamos isolar , que é a derivada que precisamos:

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada no ponto . Primeiro, substituímos x = 1 e na expressão da derivada:
Sabemos que , então:
Isso indica que a inclinação é indefinida, ou seja, a reta tangente é vertical.

Passo 7

Uma reta vertical tem a forma , onde a é a coordenada x do ponto de tangência. No nosso caso, .

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:

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