Determine a equação da reta tangente à curva no ponto indicado:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a equação da reta tangente à curva definida por no ponto . Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas implícitas, já que a equação envolve tanto quanto de forma misturada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma reta tangente. A reta tangente a uma curva em um ponto específico é a reta que “toca” a curva apenas nesse ponto e tem a mesma inclinação da curva naquele ponto. Para encontrar essa reta, precisamos determinar sua inclinação, que é dada pela derivada da função no ponto em questão.

Passo 3

Como a equação da curva é , não está fácil isolarmos . Por isso, vamos usar a derivada implícita. Isso significa que vamos derivar ambos os lados da equação em relação a , tratando como uma função de .

Passo 4

Vamos derivar ambos os lados:
Aplicando a regra da cadeia no lado esquerdo:

Passo 5

Agora, vamos isolar , que é a derivada que precisamos:

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada no ponto . Primeiro, substituímos e na expressão da derivada:
Sabemos que , então:
Isso indica que a inclinação é indefinida, ou seja, a reta tangente é vertical.

Passo 7

Uma reta vertical tem a forma , onde é a coordenada do ponto de tangência. No nosso caso, .

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:

Exercícios relacionados

Utilizando derivação implícita, determine :
Determine a derivada de cada função a seguir:
Para cada item a seguir, faça o que se pede: Dada a função f(x)=e^{2 x}, determine a derivada de ordem e calcule .
Calcule, se possível, os seguintes limites: