Determine a equação da reta tangente à curva no ponto indicado:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a equação da reta tangente à curva definida por
no ponto
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas implícitas, já que a equação envolve tanto
quanto
de forma misturada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma reta tangente. A reta tangente a uma curva em um ponto específico é a reta que “toca” a curva apenas nesse ponto e tem a mesma inclinação da curva naquele ponto. Para encontrar essa reta, precisamos determinar sua inclinação, que é dada pela derivada da função no ponto em questão.
Passo 3
Como a equação da curva é
, não está fácil isolarmos
. Por isso, vamos usar a derivada implícita. Isso significa que vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
, tratando
como uma função de
.
Passo 4
Vamos derivar ambos os lados:
Aplicando a regra da cadeia no lado esquerdo:
Passo 5
Agora, vamos isolar
, que é a derivada que precisamos:
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada no ponto
. Primeiro, substituímos
e
na expressão da derivada:
Sabemos que
, então:
Isso indica que a inclinação é indefinida, ou seja, a reta tangente é vertical.
Passo 7
Uma reta vertical tem a forma
, onde
é a coordenada
do ponto de tangência. No nosso caso,
.
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto
é:
Exercícios relacionados
Utilizando derivação implícita, determine
:
Determine a derivada de cada função a seguir:
Para cada item a seguir, faça o que se pede: Dada a função f(x)=e^{2 x}, determine a derivada de ordem
e calcule
.
Calcule, se possível, os seguintes limites: