Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão:

Passo 1

Beleza, vamos estudar a concavidade e os pontos de inflexão da função no intervalo de de a . Isso envolve entender como a curvatura da função se comporta e onde ela muda de direção, ou seja, onde há pontos de inflexão. Vamos precisar usar conceitos de derivadas, especificamente a segunda derivada, para analisar a concavidade e identificar esses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para estudar a concavidade de uma função, precisamos calcular a segunda derivada dela. A segunda derivada nos diz se a função está “côncava para cima” ou “côncava para baixo” em determinado intervalo.

Passo 3

Vamos começar encontrando a primeira derivada de . A derivada de é 1 e a derivada de é . Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada, que é a derivada da primeira derivada . A derivada de 1 é 0 e a derivada de é . Portanto:

Passo 5

Com a segunda derivada em mãos, podemos analisar a concavidade:
  • Se , a função é côncava para cima nesse intervalo.
  • Se , a função é côncava para baixo nesse intervalo.
Vamos analisar no intervalo .

Passo 6

Vamos identificar onde , pois esses pontos podem ser pontos de inflexão se a concavidade mudar ao passar por eles:
No intervalo , quando .

Passo 7

Agora, vamos verificar a concavidade em cada intervalo determinado por esses pontos:
  1. Intervalo :
    • Escolha
    • Portanto, concava para baixo.
  2. Intervalo :
    • Escolha
    • Portanto, concava para cima.

Passo 8

Como a concavidade muda de concava para baixo em para concava para cima em , isso significa que há um ponto de inflexão em .

Resposta

A função é concava para baixo no intervalo e concava para cima no intervalo . Portanto, há um ponto de inflexão em .

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Calcule, se possível, os seguintes limites:
Para cada item a seguir, faça o que se pede: Dada a função f(x)=e^{2 x}, determine a derivada de ordem e calcule .
Determine a derivada de cada função a seguir:
Determine a derivada de cada função a seguir: