Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão:
Passo 1
Beleza, vamos estudar a concavidade e os pontos de inflexão da função no intervalo de
de
a
. Isso envolve entender como a curvatura da função se comporta e onde ela muda de direção, ou seja, onde há pontos de inflexão. Vamos precisar usar conceitos de derivadas, especificamente a segunda derivada, para analisar a concavidade e identificar esses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para estudar a concavidade de uma função, precisamos calcular a segunda derivada dela. A segunda derivada nos diz se a função está “côncava para cima” ou “côncava para baixo” em determinado intervalo.
Passo 3
Vamos começar encontrando a primeira derivada de . A derivada de
é 1 e a derivada de é
. Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada, que é a derivada da primeira derivada
. A derivada de 1 é 0 e a derivada de
é . Portanto:
Passo 5
Com a segunda derivada em mãos, podemos analisar a concavidade:
- Se
, a função é côncava para cima nesse intervalo. - Se
, a função é côncava para baixo nesse intervalo.
Vamos analisar no intervalo
.
Passo 6
Vamos identificar onde
, pois esses pontos podem ser pontos de inflexão se a concavidade mudar ao passar por eles:
No intervalo
, quando
.
Passo 7
Agora, vamos verificar a concavidade em cada intervalo determinado por esses pontos:
-
Intervalo
: - Escolha
- Portanto, concava para baixo.
- Escolha
-
Intervalo
: - Escolha
- Portanto, concava para cima.
- Escolha
Passo 8
Como a concavidade muda de concava para baixo em
para concava para cima em
, isso significa que há um ponto de inflexão em
.
Resposta
A função é concava para baixo no intervalo
e concava para cima no intervalo
. Portanto, há um ponto de inflexão em
.
Exercícios relacionados
Calcule, se possível, os seguintes limites:
Para cada item a seguir, faça o que se pede: Dada a função f(x)=e^{2 x}, determine a derivada de ordem
e calcule
.
Determine a derivada de cada função a seguir:
Determine a derivada de cada função a seguir: