Determine a equação da reta tangente à curva no ponto indicado: em

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrarmos a equação da reta tangente à curva dada por no ponto . Vamos trabalhar com derivadas implícitas e conhecendo que precisamos encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Isso significa que vamos aplicar a derivada à função e a . Lembre-se que, ao derivar uma função logarítmica como , a derivada é .

Passo 3

Derivando o lado esquerdo:
Aqui usamos a regra da cadeia. Agora, derivamos usando a regra do produto:

Passo 4

Derivando o lado direito:

Passo 5

Igualando as derivadas dos dois lados:

Passo 6

Agora, vamos resolver para :

Passo 7

Vamos substituir o ponto na expressão da derivada para encontrar a inclinação da reta tangente:

Resposta

A equação da reta tangente é:

Exercícios relacionados

Utilizando derivação implícita, determine :
Utilizando derivação implícita, determine :
A função é crescente para . Se é a função inversa de neste intervalo, encontre .
Para cada item a seguir, faça o que se pede: Dada a função f(x)=\frac{1}{x}, determine a derivada de ordem e calcule .