Determine a equação da reta tangente à curva no ponto indicado: ln(x y) = 2 x em (1, e^2)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrarmos a equação da reta tangente à curva dada por no ponto . Vamos trabalhar com derivadas implícitas e conhecendo que precisamos encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x. Isso significa que vamos aplicar a derivada à função e a . Lembre-se que, ao derivar uma função logarítmica como , a derivada é .

Passo 3

Derivando o lado esquerdo:
Aqui usamos a regra da cadeia. Agora, derivamos x y usando a regra do produto:

Passo 4

Derivando o lado direito:

Passo 5

Igualando as derivadas dos dois lados:

Passo 6

Agora, vamos resolver para :

Passo 7

Vamos substituir o ponto na expressão da derivada para encontrar a inclinação da reta tangente:

Resposta

A equação da reta tangente é:

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