Determine a equação da reta tangente à curva no ponto indicado:
em
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrarmos a equação da reta tangente à curva dada por
no ponto
. Vamos trabalhar com derivadas implícitas e conhecendo que precisamos encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Isso significa que vamos aplicar a derivada à função
e a
. Lembre-se que, ao derivar uma função logarítmica como
, a derivada é
.
Passo 3
Derivando o lado esquerdo:
Aqui usamos a regra da cadeia. Agora, derivamos
usando a regra do produto:
Passo 4
Derivando o lado direito:
Passo 5
Igualando as derivadas dos dois lados:
Passo 6
Agora, vamos resolver para
:
Passo 7
Vamos substituir o ponto
na expressão da derivada para encontrar a inclinação da reta tangente:
Resposta
A equação da reta tangente é: