Para cada item a seguir, faça o que se pede: Dada a função f(x)=\operatorname{sen} x, determine a derivada de ordem e calcule .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar a derivada de ordem da função e calcular . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas sucessivas e periodicidade das derivadas das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como funcionam as derivadas de funções trigonométricas básicas. Sabemos que:
Derivando uma vez:
Derivando novamente:
E mais uma derivada:
E a quarta derivada retorna à função original:

Passo 3

Observamos que as derivadas de repetem um ciclo a cada quatro derivações. Isso significa que a n-ésima derivada de pode ser expressa de forma geral, dependendo do resto da divisão de por 4.

Passo 4

Para expressar a n-ésima derivada de forma geral, usamos a seguinte fórmula:
Essa fórmula aproveita a periodicidade das derivadas das funções trigonométricas.

Passo 5

Agora, vamos calcular . Substituindo e na fórmula:
Sabemos que , pois o seno de qualquer múltiplo inteiro de é zero.

Resposta

Exercícios relacionados

Determine a equação da reta tangente à curva no ponto indicado: em
Utilizando derivação implícita, determine :
Calcule, se possível, os seguintes limites:
Classifique cada função como uma função potência, função raiz, função polinomial (estabeleça seu grau), função racional, função algébrica, função trigonométrica, função exponencial ou função logarítmica.