Para cada item a seguir, faça o que se pede: Dada a função f(x)=\operatorname{sen} x, determine a derivada de ordem
e calcule
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar a derivada de ordem
da função e calcular
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas sucessivas e periodicidade das derivadas das funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como funcionam as derivadas de funções trigonométricas básicas. Sabemos que:
Derivando uma vez:
Derivando novamente:
E mais uma derivada:
E a quarta derivada retorna à função original:
Passo 3
Observamos que as derivadas de repetem um ciclo a cada quatro derivações. Isso significa que a n-ésima derivada de pode ser expressa de forma geral, dependendo do resto da divisão de
por 4.
Passo 4
Para expressar a n-ésima derivada de forma geral, usamos a seguinte fórmula:
Essa fórmula aproveita a periodicidade das derivadas das funções trigonométricas.
Passo 5
Agora, vamos calcular
. Substituindo
e
na fórmula:
Sabemos que , pois o seno de qualquer múltiplo inteiro de
é zero.
Resposta
Exercícios relacionados
Determine a equação da reta tangente à curva no ponto indicado:
em
Utilizando derivação implícita, determine
:
Calcule, se possível, os seguintes limites:
Classifique cada função como uma função potência, função raiz, função polinomial (estabeleça seu grau), função racional, função algébrica, função trigonométrica, função exponencial ou função logarítmica.