Determine a equação da reta tangente à curva no ponto indicado: y^2 = x^2 / (x * y - 4) em (4,2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva definida por no ponto . Isso envolve um pouco de cálculo, especialmente derivadas, para achar a inclinação da reta tangente. Vamos usar a derivação implícita para achar a taxa de variação e, com isso, montar a equação da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da curva para facilitar a derivação. A equação dada é:
Vamos multiplicar ambos os lados por para eliminar a fração:
Isso resulta em:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a derivação implícita nessa equação para encontrar , que nos dará a inclinação da reta tangente.
Derivando ambos os lados em relação a :
Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia:

Passo 4

Agora, vamos isolar :
Fatorando :
Finalmente, resolvendo para :

Passo 5

Agora, vamos substituir as coordenadas do ponto na derivada para encontrar a inclinação da reta tangente:
Então, a inclinação da reta tangente é 0.

Passo 6

Com a inclinação conhecida e o ponto dado, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo e o ponto :
Simplificando:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é .

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