Determine a equação da reta tangente à curva no ponto indicado: em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva definida por no ponto . Isso envolve um pouco de cálculo, especialmente derivadas, para achar a inclinação da reta tangente. Vamos usar a derivação implícita para achar a taxa de variação e, com isso, montar a equação da reta.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da curva para facilitar a derivação. A equação dada é:
Vamos multiplicar ambos os lados por para eliminar a fração:
Isso resulta em:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a derivação implícita nessa equação para encontrar , que nos dará a inclinação da reta tangente.
Derivando ambos os lados em relação a :
Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, vamos isolar :
Fatorando :
Finalmente, resolvendo para :
Passo 5
Agora, vamos substituir as coordenadas do ponto na derivada para encontrar a inclinação da reta tangente:
Então, a inclinação da reta tangente é 0.
Passo 6
Com a inclinação conhecida e o ponto dado, podemos usar a fórmula da equação da reta: