Calcule, se possível, os seguintes limites:

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite da expressão . Estamos lidando com limites de funções exponenciais, e para resolver isso, vamos precisar entender como as expressões se comportam quando cresce muito, e também vamos usar propriedades de logaritmos para simplificar a conta.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a fração dentro do parênteses: . Quando tende ao infinito, os termos constantes e ficam bem pequenos comparados com . Então, podemos simplificar essa fração dividindo todos os termos por :

Passo 3

Agora, vamos observar o que acontece quando tende ao infinito. Os termos e vão para zero, então a fração fica:
Mas tem um detalhe importante: estamos elevando essa fração a , que também tende ao infinito. Então, não podemos simplesmente dizer que o limite é 1; precisamos analisar melhor.

Passo 4

Para resolver expressões desse tipo, onde a base tende a 1 e o expoente tende ao infinito, usamos a propriedade de limites envolvendo o número . A fórmula que usamos é:
Vamos tentar transformar nossa expressão para se encaixar nessa fórmula.

Passo 5

Vamos reescrever nossa expressão original de forma que fique parecida com :
Agora, vamos tratar cada parte separadamente.

Passo 6

Primeiro, olhe para . Comparando com a fórmula, aqui , então:
Agora, para a segunda parte, , podemos reescrever como:
Usando a mesma fórmula, com :

Passo 7

Agora, multiplicamos os dois limites que encontramos:

Resposta

O limite é .

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