Calcule, se possível, os seguintes limites:
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite da expressão
. Estamos lidando com limites de funções exponenciais, e para resolver isso, vamos precisar entender como as expressões se comportam quando
cresce muito, e também vamos usar propriedades de logaritmos para simplificar a conta.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a fração dentro do parênteses:
. Quando
tende ao infinito, os termos constantes
e
ficam bem pequenos comparados com
. Então, podemos simplificar essa fração dividindo todos os termos por
:
Passo 3
Agora, vamos observar o que acontece quando
tende ao infinito. Os termos
e
vão para zero, então a fração fica:
Mas tem um detalhe importante: estamos elevando essa fração a
, que também tende ao infinito. Então, não podemos simplesmente dizer que o limite é 1; precisamos analisar melhor.
Passo 4
Para resolver expressões desse tipo, onde a base tende a 1 e o expoente tende ao infinito, usamos a propriedade de limites envolvendo o número
. A fórmula que usamos é:
Vamos tentar transformar nossa expressão para se encaixar nessa fórmula.
Passo 5
Vamos reescrever nossa expressão original de forma que fique parecida com
:
Agora, vamos tratar cada parte separadamente.
Passo 6
Primeiro, olhe para
. Comparando com a fórmula, aqui
, então:
Agora, para a segunda parte,
, podemos reescrever como:
Usando a mesma fórmula, com
:
Passo 7
Agora, multiplicamos os dois limites que encontramos:
Resposta
O limite é
.