Calcule, se possível, os seguintes limites: lim x +infty(x-27x+1)^x

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite da expressão . Estamos lidando com limites de funções exponenciais, e para resolver isso, vamos precisar entender como as expressões se comportam quando cresce muito, e também vamos usar propriedades de logaritmos para simplificar a conta.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a fração dentro do parênteses: x - 27x + 1 = x(1 - 27x)x(1 + 1x) = 1 - 27x1 + 1x . Quando tende ao infinito, os termos constantes e ficam bem pequenos comparados com . Então, podemos simplificar essa fração dividindo todos os termos por :

Passo 3

Agora, vamos observar o que acontece quando 1 - 01 + 0 = 1 tende ao infinito. Os termos e vão para zero, então a fração fica:
Mas tem um detalhe importante: estamos elevando essa fração a , que também tende ao infinito. Então, não podemos simplesmente dizer que o limite é 1; precisamos analisar melhor.

Passo 4

Para resolver expressões desse tipo, onde a base tende a 1 e o expoente tende ao infinito, usamos a propriedade de limites envolvendo o número limx to infty (1 + ax)^x = e^a . A fórmula que usamos é:
Vamos tentar transformar nossa expressão para se encaixar nessa fórmula.

Passo 5

Vamos reescrever nossa expressão original de forma que fique parecida com (1 - 27x1 + 1x)^x = (1 - 27x)^x cdot (11 + 1x)^x :
Agora, vamos tratar cada parte separadamente.

Passo 6

Primeiro, olhe para limx to infty (1 - 27x)^x = e^-27 . Comparando com a fórmula, aqui (1 + 1x)^-x , então:
limx to infty (1 + 1x)^-x = e^-1
Agora, para a segunda parte, , podemos reescrever como:
Usando a mesma fórmula, com :

Passo 7

Agora, multiplicamos os dois limites que encontramos:
e^-27 cdot e^-1 = e^-27 - 1 = e^-97

Resposta

O limite é .

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