Em cada item, utilize o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo, propriedades da integral (se necessário) e as regras de derivação (se necessário) para calcular a derivada da função f.
f(x)=integral0^x^2 t^3 d t

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função definida como uma integral:
f(x) = integral0^x^2 t^3 , dt
O objetivo é encontrar a derivada dessa função, ou seja, . Para isso, vamos usar o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo, que relaciona integrais com derivadas, além de algumas regras de derivação básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo. Ele nos diz que se temos uma função definida como uma integral com um limite superior que depende de F(x) = integrala^g(x) h(t) , dt , então a derivada dessa função é simplesmente a função dentro da integral avaliada nesse limite, multiplicada pela derivada do limite.
Matematicamente, se:
F'(x) = h(g(x)) cdot g'(x)
Então:

Passo 3

Aplicando esse teorema ao nosso caso:
f(x) = integral0^x^2 t^3 , dt
Aqui, e . O limite inferior é uma constante (0), então a parte da derivada desse limite vai ser zero.

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada:
  1. Avaliamos h(g(x)) = (x^2)^3 = x^6 no limite superior g'(x) = ddx(x^2) = 2x :
    f'(x) = h(g(x)) cdot g'(x) = x^6 cdot 2x = 2x^7
  2. Calculamos a derivada de :
  3. Multiplicamos os dois resultados:

Resposta

A derivada da função f'(x) = 2x^7 é:

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