Quantas retas tangentes ao gráfico de y = x^3 + 3 x são paralelas à reta y = 6 x + 1 ? Determine as equações dessas tangentes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa descobrir quantas retas tangentes ao gráfico de são paralelas à reta . Isso envolve cálculo diferencial, especificamente o conceito de derivada para encontrar a inclinação das tangentes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a inclinação da reta dada . Sabemos que o coeficiente de é a inclinação, então aqui a inclinação é 6.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as inclinações das tangentes ao gráfico de . Para isso, calculamos a derivada dessa função, que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto . A derivada de em relação a é:

Passo 4

Queremos que as tangentes sejam paralelas à reta , ou seja, que tenham a mesma inclinação de 6. Então, igualamos a derivada a 6:

Passo 5

Resolvendo essa equação para encontrar os valores de :
Então, temos dois pontos onde as tangentes terão inclinação 6: quando e .

Passo 6

Vamos encontrar as coordenadas desses pontos substituindo na função original:
Para :
Portanto, o ponto é .
Para :
Portanto, o ponto é .

Passo 7

Agora, vamos escrever as equações das retas tangentes usando a fórmula da reta na forma ponto-inclinação:
Onde (a inclinação) e são os pontos que encontramos.
Para :
Para :

Resposta

As retas tangentes são e .

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