Quantas retas tangentes ao gráfico de
são paralelas à reta
? Determine as equações dessas tangentes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa descobrir quantas retas tangentes ao gráfico de
são paralelas à reta
. Isso envolve cálculo diferencial, especificamente o conceito de derivada para encontrar a inclinação das tangentes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a inclinação da reta dada
. Sabemos que o coeficiente de
é a inclinação, então aqui a inclinação é 6.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as inclinações das tangentes ao gráfico de
. Para isso, calculamos a derivada dessa função, que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
. A derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Queremos que as tangentes sejam paralelas à reta
, ou seja, que tenham a mesma inclinação de 6. Então, igualamos a derivada a 6:
Passo 5
Resolvendo essa equação para encontrar os valores de
:
Então, temos dois pontos onde as tangentes terão inclinação 6: quando
e
.
Passo 6
Vamos encontrar as coordenadas desses pontos substituindo
na função original:
Para
:
Portanto, o ponto é
.
Para
:
Portanto, o ponto é
.
Passo 7
Agora, vamos escrever as equações das retas tangentes usando a fórmula da reta na forma ponto-inclinação:
Onde
(a inclinação) e
são os pontos que encontramos.
Para
:
Para
:
Resposta
As retas tangentes são
e
.
Exercícios relacionados
Em cada item, utilize o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo, propriedades da integral (se necessário) e as regras de derivação (se necessário) para calcular a derivada da função
.
Utilize o significado geométrico da integral para concluir que:
.
Nos exercícios 18. a 21. use o gráfico da função para determinar os valores de
em que a função é diferenciável e indique os valores de
em que a derivada é (i) nula (ii) positiva (iii) negativa.