Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que temos aqui. O exercício apresenta uma função definida por partes:
Vamos analisar se essa função é contínua e derivável no ponto . Para isso, vamos precisar entender conceitos de limite, continuidade e derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a continuidade da função em . A função é contínua nesse ponto se o limite quando se aproxima de 0 for igual ao valor da função em 0, que é 0.
Então, precisamos calcular:

Passo 3

Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja:
Multiplicando tudo por , que tende a 0 quando tende a 0, temos:

Passo 4

Agora, aplicamos o Teorema do Sandwich (ou Teorema dos Dois Limites). Sabemos que:
Portanto, pelo teorema, o limite de também é 0.

Passo 5

Como o limite quando tende a 0 é igual ao valor da função em 0, concluímos que é contínua em .
Agora, vamos verificar a derivabilidade em . Para isso, precisamos calcular a derivada no ponto 0 usando o limite:
Como , simplificamos para:

Passo 6

Novamente, sabemos que está entre -1 e 1. Multiplicando por , temos:
Aplicando o Teorema do Sandwich mais uma vez, e sabendo que , concluímos que:

Resposta

Portanto, a função é contínua e derivável em , e sua derivada nesse ponto é:

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Em cada item, utilize o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo, propriedades da integral (se necessário) e as regras de derivação (se necessário) para calcular a derivada da função .
Nos exercícios 18. a 21. use o gráfico da função para determinar os valores de em que a função é diferenciável e indique os valores de em que a derivada é (i) nula (ii) positiva (iii) negativa.
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