Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que temos aqui. O exercício apresenta uma função definida por partes:
Vamos analisar se essa função é contínua e derivável no ponto
. Para isso, vamos precisar entender conceitos de limite, continuidade e derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a continuidade da função em
. A função é contínua nesse ponto se o limite quando
se aproxima de 0 for igual ao valor da função em 0, que é 0.
Então, precisamos calcular:
Passo 3
Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja:
Multiplicando tudo por
, que tende a 0 quando
tende a 0, temos:
Passo 4
Agora, aplicamos o Teorema do Sandwich (ou Teorema dos Dois Limites). Sabemos que:
Portanto, pelo teorema, o limite de também é 0.
Passo 5
Como o limite quando
tende a 0 é igual ao valor da função em 0, concluímos que
é contínua em
.
Agora, vamos verificar a derivabilidade em
. Para isso, precisamos calcular a derivada no ponto 0 usando o limite:
Como
, simplificamos para:
Passo 6
Novamente, sabemos que está entre -1 e 1. Multiplicando por
, temos:
Aplicando o Teorema do Sandwich mais uma vez, e sabendo que
, concluímos que:
Resposta
Portanto, a função
é contínua e derivável em
, e sua derivada nesse ponto é: