Em cada item, utilize o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo, propriedades da integral (se necessário) e as regras de derivação (se necessário) para calcular a derivada da função f.
f(x)=integralx^2 x(t^2+1) d t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a derivada da função . Estamos lidando com cálculo integral e diferencial, especialmente usando o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar funções definidas por integrais onde os limites de integração dependem da variável .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que se , então . Mas no nosso caso, os limites de integração são e , ambos dependem de . Isso significa que precisamos usar a regra de diferenciação para integrais com limites variáveis.

Passo 3

A regra para derivar uma integral com limites que são funções de ddx ( integralu(x)^v(x) g(t) dt ) = g(v(x)) cdot v'(x) - g(u(x)) cdot u'(x) é a seguinte:
Aqui, e são os limites inferior e superior da integral, respectivamente.

Passo 4

Aplicando essa regra ao nosso problema, identificamos:
  • então
  • então

Passo 5

Agora, substituímos esses valores na fórmula da regra:
f'(x) = g(2x) cdot 2 - g(x) cdot 1
Vamos calcular g(2x) = (2x)^2 + 1 = 4x^2 + 1 e g(x) = x^2 + 1 :

Passo 6

Substituindo de volta na expressão para f'(x) = (4x^2 + 1) cdot 2 - (x^2 + 1) cdot 1 :
Vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 7

Multiplicando os termos:
f'(x) = 8x^2 + 2 - x^2 - 1
Agora, combinamos os termos semelhantes:
f'(x) = (8x^2 - x^2) + (2 - 1) = 7x^2 + 1

Resposta

A derivada da função f'(x) = 7x^2 + 1 é:

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