Em cada item, utilize o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo, propriedades da integral (se necessário) e as regras de derivação (se necessário) para calcular a derivada da função .
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a derivada da função . Estamos lidando com cálculo integral e diferencial, especialmente usando o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar funções definidas por integrais onde os limites de integração dependem da variável .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que se , então . Mas no nosso caso, os limites de integração são e , ambos dependem de . Isso significa que precisamos usar a regra de diferenciação para integrais com limites variáveis.

Passo 3

A regra para derivar uma integral com limites que são funções de é a seguinte:
Aqui, e são os limites inferior e superior da integral, respectivamente.

Passo 4

Aplicando essa regra ao nosso problema, identificamos:
  • então
  • então

Passo 5

Agora, substituímos esses valores na fórmula da regra:
Vamos calcular e :

Passo 6

Substituindo de volta na expressão para :
Vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 7

Multiplicando os termos:
Agora, combinamos os termos semelhantes:

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados

Em cada item, utilize o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo, propriedades da integral (se necessário) e as regras de derivação (se necessário) para calcular a derivada da função .
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Em cada item, utilize o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo, propriedades da integral (se necessário) e as regras de derivação (se necessário) para calcular a derivada da função .
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Considere a função cujo gráfico está no exercício C1. e seja .
Calcule e .
A pressão hidrostática (medida em Pascal) exercida contra a lateral de uma piscina a uma profundidade (medida em metros) é dada por
Determine a taxa de variação da pressão em relação à profundidade quando .