Em cada item, utilize o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo, propriedades da integral (se necessário) e as regras de derivação (se necessário) para calcular a derivada da função
.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a derivada da função
. Estamos lidando com cálculo integral e diferencial, especialmente usando o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar funções definidas por integrais onde os limites de integração dependem da variável
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que se
, então
. Mas no nosso caso, os limites de integração são
e
, ambos dependem de
. Isso significa que precisamos usar a regra de diferenciação para integrais com limites variáveis.
Passo 3
A regra para derivar uma integral com limites que são funções de
é a seguinte:
Aqui,
e
são os limites inferior e superior da integral, respectivamente.
Passo 4
Aplicando essa regra ao nosso problema, identificamos:
-
então -
então -
Passo 5
Agora, substituímos esses valores na fórmula da regra:
Vamos calcular
e
:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão para
:
Vamos simplificar isso passo a passo.
Passo 7
Multiplicando os termos:
Agora, combinamos os termos semelhantes:
Resposta
A derivada da função
é:
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Em cada item, utilize o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo, propriedades da integral (se necessário) e as regras de derivação (se necessário) para calcular a derivada da função
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Em cada item, utilize o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo, propriedades da integral (se necessário) e as regras de derivação (se necessário) para calcular a derivada da função
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Considere a função
cujo gráfico está no exercício C1. e seja
.
Calcule e
.
Calcule
A pressão hidrostática
(medida em Pascal) exercida contra a lateral de uma piscina a uma profundidade
(medida em metros) é dada por
Determine a taxa de variação da pressão em relação à profundidade quando
.