A pressão hidrostática P(x) (medida em Pascal) exercida contra a lateral de uma piscina a uma profundidade x (medida em metros) é dada por
P(x)=integral0^3 ln x(t+13) e^2 t d t
Determine a taxa de variação da pressão em relação à profundidade quando x=1 m.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a pressão hidrostática P(x) = integral0^3 ln x (t + 13) e^2t , dt exercida na lateral de uma piscina em função da profundidade . A fórmula dada é uma integral definida:
Nosso objetivo é encontrar a taxa de variação dessa pressão em relação à profundidade quando metro. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente a regra de derivação de integrais que dependem de limites variáveis.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Quando temos uma função definida por uma integral onde os limites dependem da variável, usamos a Regra de Leibniz para derivar.

Passo 3

A Regra de Leibniz nos diz que se:
P(x) = integrala(x)^b(x) f(t) , dt
então:
dPdx = f(b(x)) cdot dbdx - f(a(x)) cdot dadx + integrala(x)^b(x) partial fpartial x , dt
No nosso caso, a função integranda dPdx = f(b(x)) cdot dbdx não depende de , então a derivada parcial em relação a é zero. Além disso, o limite inferior é constante, então . Assim, a fórmula simplifica para:

Passo 4

Vamos identificar b(x) = 3 ln x Rightarrow dbdx = 3x e calcular sua derivada:
f(b(x)) = (3 ln x + 13) e^2 cdot 3 ln x = (3 ln x + 13) e^6 ln x
Agora, substituímos e^6 ln x = x^6 na função f(b(x)) = (3 ln x + 13) x^6 :
dPdx = (3 ln x + 13) x^6 cdot 3x = 3(3 ln x + 13) x^5
Lembre-se que , então:
Portanto:
Agora, juntando tudo:

Passo 5

Finalmente, vamos avaliar ln 1 = 0 e 1^5 = 1 em dPdxg|x=1 = 3(3 cdot 0 + 13) cdot 1 = 3 times 13 = 39 :
Substituindo:

Resposta

A taxa de variação da pressão em relação à profundidade quando metro é de 39 Pascal por metro.

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