A pressão hidrostática (medida em Pascal) exercida contra a lateral de uma piscina a uma profundidade (medida em metros) é dada por
Determine a taxa de variação da pressão em relação à profundidade quando .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a pressão hidrostática exercida na lateral de uma piscina em função da profundidade . A fórmula dada é uma integral definida:
Nosso objetivo é encontrar a taxa de variação dessa pressão em relação à profundidade quando metro. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente a regra de derivação de integrais que dependem de limites variáveis.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Quando temos uma função definida por uma integral onde os limites dependem da variável, usamos a Regra de Leibniz para derivar.

Passo 3

A Regra de Leibniz nos diz que se:
então:
No nosso caso, a função integranda não depende de , então a derivada parcial em relação a é zero. Além disso, o limite inferior é constante, então . Assim, a fórmula simplifica para:

Passo 4

Vamos identificar e calcular sua derivada:
Agora, substituímos na função :
Lembre-se que , então:
Portanto:
Agora, juntando tudo:

Passo 5

Finalmente, vamos avaliar em :
Substituindo:

Resposta

A taxa de variação da pressão em relação à profundidade quando metro é de 39 Pascal por metro.

Exercícios relacionados

Considere a função cujo gráfico está no exercício C1. e seja .
Calcule e .
Em cada item, utilize o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo, propriedades da integral (se necessário) e as regras de derivação (se necessário) para calcular a derivada da função .
.
Utilize o significado geométrico da integral para concluir que:
.
Considere a função cujo gráfico está no exercício C1. e seja .
O que você pode dizer sobre o crescimento ou decrescimento de nos intervalos e ?