Decida se existem
de modo que a função seja contínua no(s) ponto(s) indicado(s). Em caso afirmativo, calcule tais valores de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente verificar se existem valores reais para
e
que tornam a função contínua no ponto indicado. No caso da parte (a), o ponto de interesse é
. A função está definida de duas formas:
A matéria que vamos utilizar aqui é sobre continuidade de funções. Para a função ser contínua no ponto
, o limite de
quando
se aproxima de 1 deve ser igual ao valor da função nesse ponto, ou seja,
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 1. Olha só:
Podemos simplificar essa expressão fatorando o numerador. Vamos fatorar o polinômio
.
Passo 3
Fatorando
:
Procuramos dois números que multiplicados dão -3 e somados dão +2. Esses números são +3 e -1. Então:
Substituindo de volta na expressão original:
Passo 4
Agora, podemos simplificar a fração:
Isso significa que, para todos os
diferentes de 1, a função
é igual a
.
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite:
Então, o limite de
quando
se aproxima de 1 é 4.
Passo 6
Para a função ser contínua em
, o valor da função nesse ponto deve ser igual ao limite que acabamos de calcular. Ou seja:
Resposta
Sim, existe um valor para
que torna a função contínua em
. Esse valor é
.
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Seja
uma função definida por
. Para quais valores de
teremos
?