Decida se existem de modo que a função seja contínua no(s) ponto(s) indicado(s). Em caso afirmativo, calcule tais valores de e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente verificar se existem valores reais para e que tornam a função contínua no ponto indicado. No caso da parte (a), o ponto de interesse é . A função está definida de duas formas:
A matéria que vamos utilizar aqui é sobre continuidade de funções. Para a função ser contínua no ponto , o limite de quando se aproxima de 1 deve ser igual ao valor da função nesse ponto, ou seja, .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 1. Olha só:
Podemos simplificar essa expressão fatorando o numerador. Vamos fatorar o polinômio .

Passo 3

Fatorando :
Procuramos dois números que multiplicados dão -3 e somados dão +2. Esses números são +3 e -1. Então:
Substituindo de volta na expressão original:

Passo 4

Agora, podemos simplificar a fração:
Isso significa que, para todos os diferentes de 1, a função é igual a .

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite:
Então, o limite de quando se aproxima de 1 é 4.

Passo 6

Para a função ser contínua em , o valor da função nesse ponto deve ser igual ao limite que acabamos de calcular. Ou seja:

Resposta

Sim, existe um valor para que torna a função contínua em . Esse valor é .

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Seja uma função definida por . Para quais valores de teremos ?