Em cada item, verifique se o limite existe. Em caso afirmativo, calcule-o. Em caso negativo, justifique.
(f) lim x 5 x^2-3 x-10raiz2 x-5-raizx

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o seguinte limite para calcular:
lim x 5 x^2-3 x-10raiz2 x-5-raizx
Aqui, estamos lidando com limites, um conceito fundamental no cálculo. Precisamos verificar se esse limite existe e, se existir, descobrir o valor dele. Vamos precisar usar técnicas como fatoração e racionalização para resolver essa parada.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir o valor 5^2 - 3 times 5 - 10raiz2 times 5 - 5 - raiz5 = 25 - 15 - 10raiz10 - 5 - raiz5 = 0raiz5 - raiz5 = 00 diretamente na expressão para ver o que acontece:
Opa, deu uma indeterminação . Isso significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos racionalizar o denominador pra eliminar as raízes. Isso envolve multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de x^2-3x-10raiz2x-5-raizx times raiz2x -5 + raizxraiz2x -5 + raizx = (x^2-3x-10)(raiz2x -5 + raizx)(raiz2x-5)^2 - (raizx)^2 é . Então, multiplicamos:

Passo 4

Agora, vamos simplificar o denominador. Usamos a diferença de quadrados:
(raiz2x-5)^2 - (raizx)^2 = (2x - 5) - x = x - 5
Então, nossa expressão fica:
(x^2-3x-10)(raiz2x -5 + raizx)x - 5

Passo 5

Vamos fatorar o numerador x^2 - 3x - 10 = (x - 5)(x + 2) . Procuramos dois números que multiplicados dão -10 e somados dão -3. Esses números são -5 e +2, então:
(x - 5)(x + 2)(raiz2x -5 + raizx)x - 5
Substituindo na expressão:
(x + 2)(raiz2x -5 + raizx)
Aí, conseguimos cancelar o que está no numerador e no denominador:

Passo 6

Agora, podemos substituir (5 + 2)(raiz2 times 5 -5 + raiz5) = 7 (raiz10 -5 + raiz5) = 7 (raiz5 + raiz5) = 7 times 2 raiz5 = 14 raiz5 sem problemas:

Resposta

O limite existe e é igual a .

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