Determine todas as assíntotas horizontais e verticais dos gráficos das funções dadas a seguir:
f(x) = raiz((3 x + 2) / (2 x + 1))

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar todas as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função . Para isso, vamos usar conceitos de limite e comportamento das funções racionais. Precisaremos analisar os limites quando tende ao infinito e os pontos onde o denominador se anula.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde a função não está definida, ou seja, onde o denominador da fração dentro da raiz é zero.

Passo 3

Vamos resolver a equação :
Portanto, existe uma assíntota vertical em .

Passo 4

Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais examinando o comportamento de quando tende ao infinito ( e ).

Passo 5

Para encontrar o limite de quando tende ao infinito, analisamos:
E igualmente para :
Isso indica que a função se aproxima da reta horizontal quando vai para .

Passo 6

Assim, a assíntota horizontal é .

Resposta

A função possui uma assíntota vertical em e uma assíntota horizontal em .

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