Determine todas as assíntotas horizontais e verticais dos gráficos das funções dadas a seguir:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar todas as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função
. Para isso, vamos usar conceitos de limite e comportamento das funções racionais. Precisaremos analisar os limites quando
tende ao infinito e os pontos onde o denominador se anula.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde a função não está definida, ou seja, onde o denominador da fração dentro da raiz é zero.
Passo 3
Vamos resolver a equação
:
Portanto, existe uma assíntota vertical em
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais examinando o comportamento de
quando
tende ao infinito (
e
).
Passo 5
Para encontrar o limite de
quando
tende ao infinito, analisamos:
E igualmente para
:
Isso indica que a função se aproxima da reta horizontal
quando
vai para
.
Passo 6
Assim, a assíntota horizontal é
.
Resposta
A função
possui uma assíntota vertical em
e uma assíntota horizontal em
.