Determine todas as assíntotas horizontais e verticais dos gráficos das funções dadas a seguir:

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar todas as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função . Para isso, vamos usar conceitos de limite e comportamento das funções racionais. Precisaremos analisar os limites quando tende ao infinito e os pontos onde o denominador se anula.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde a função não está definida, ou seja, onde o denominador da fração dentro da raiz é zero.

Passo 3

Vamos resolver a equação :
Portanto, existe uma assíntota vertical em .

Passo 4

Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais examinando o comportamento de quando tende ao infinito ( e ).

Passo 5

Para encontrar o limite de quando tende ao infinito, analisamos:
E igualmente para :
Isso indica que a função se aproxima da reta horizontal quando vai para .

Passo 6

Assim, a assíntota horizontal é .

Resposta

A função possui uma assíntota vertical em e uma assíntota horizontal em .

Exercícios relacionados

Decida se existem de modo que a função seja contínua no(s) ponto(s) indicado(s). Em caso afirmativo, calcule tais valores de e .
Avalie os limites a seguir indicando todas as propriedades utilizadas:
Seja uma função definida por . Para quais valores de teremos ?
Em cada item, verifique se o limite existe. Em caso afirmativo, calcule-o. Em caso negativo, justifique.