Determine todas as assíntotas horizontais e verticais dos gráficos das funções dadas a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar todas as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função . Isso envolve entender um pouco sobre como as funções se comportam quando vai para infinito ou quando o denominador se aproxima de zero. Vamos precisar analisar o numerador e o denominador separadamente para identificar essas assíntotas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas ocorrem nos valores de que fazem o denominador igual a zero, mas o numerador não igual a zero nesses mesmos pontos. Então, vamos resolver .

Passo 3

Resolvendo :
Agora, precisamos verificar se o numerador também é zero nesses pontos:
  • Para : (não é zero)
  • Para : (não é zero)
Como o numerador não é zero nesses pontos, e são assíntotas verticais.

Passo 4

Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Para isso, comparamos os graus do polinômio do numerador e do denominador.
  • Grau do numerador: = grau 1 + grau 2 = grau 3
  • Grau do denominador: = grau 2 + grau 1 = grau 3
Quando os graus são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes principais. No nosso caso, os coeficientes principais são ambos 1 (dos tanto no numerador quanto no denominador).

Passo 5

Portanto, a assíntota horizontal é .

Resposta

As assíntotas verticais da função são e , e a assíntota horizontal é .

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