Determine todas as assíntotas horizontais e verticais dos gráficos das funções dadas a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar todas as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função
. Isso envolve entender um pouco sobre como as funções se comportam quando
vai para infinito ou quando o denominador se aproxima de zero. Vamos precisar analisar o numerador e o denominador separadamente para identificar essas assíntotas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas ocorrem nos valores de
que fazem o denominador igual a zero, mas o numerador não igual a zero nesses mesmos pontos. Então, vamos resolver
.
Passo 3
Resolvendo
:
-
dá -
dá
Agora, precisamos verificar se o numerador também é zero nesses pontos:
- Para
: (não é zero) - Para
: (não é zero)
Como o numerador não é zero nesses pontos,
e
são assíntotas verticais.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Para isso, comparamos os graus do polinômio do numerador e do denominador.
- Grau do numerador:
= grau 1 + grau 2 = grau 3 - Grau do denominador:
= grau 2 + grau 1 = grau 3
Quando os graus são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes principais. No nosso caso, os coeficientes principais são ambos 1 (dos
tanto no numerador quanto no denominador).
Passo 5
Portanto, a assíntota horizontal é
.
Resposta
As assíntotas verticais da função são
e
, e a assíntota horizontal é
.
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Em cada item, verifique se o limite existe. Em caso afirmativo, calcule-o. Em caso negativo, justifique.
Seja
uma função definida por
. Para quais valores de
teremos
?
Estudo o domínio das funções abaixo:
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