Em cada item, verifique se o limite existe e, nos casos afirmativos, calcule
valor do limite. (Para tanto, utilize os testes de caminhos, se achar necessário; utilize as propriedades de limites; utilize coordenadas polares).
e)
e)
Passo 1
Vamos analisar o limite dado:
. Estamos trabalhando com cálculo de limites em funções de duas variáveis. Para resolver esse tipo de limite, muitas vezes usamos coordenadas polares, que facilitam a análise quando nos aproximamos de um ponto, neste caso,
.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as coordenadas cartesianas
para coordenadas polares
, onde:
Aqui,
representa a distância do ponto
até a origem
, e
é o ângulo em relação ao eixo positivo
.
Passo 3
Substituindo
e
na expressão original:
Então, a expressão dentro do limite fica:
Passo 4
Agora, analisamos o comportamento de
quando
. Quando
se aproxima de
,
tende ao infinito, então:
E, consequentemente:
Resposta
O limite existe e é igual a
.
Exercícios relacionados
Nenhum dos limites abaixo existe. Em cada item, mostre isso calculando os valores obtidos quando
ao longo do eixo
, do eixo
, das retas
(ou
, se for suficiente), da parábola
. (Não é necessário calcular para todos os caminhos, é suficiente parar quando dois valores forem diferentes.)
b)
b)
Continuidade de funções.
d) é descontínua em (0,0). Essa descontinuidade é removível? (Ou seja, é possível redefinir a função de modo que ela passe a ser contínua em
?)
(Vale a mesma dica do item c ) aqui.)
d)
(Vale a mesma dica do item c ) aqui.)
Continuidade de funções.
b) determine
para que a função seja contínua em
. Nesse caso, ela é contínua em todo o
? Justifique.
b)
Continuidade de funções.
e) é contínua em
? É contínua em todo
Se não for, é possível redefinir essa função de forma que ela se torne contínua em todo ?
e)
Se não for, é possível redefinir essa função de forma que ela se torne contínua em todo