Em cada item, verifique se o limite existe e, nos casos afirmativos, calcule valor do limite. (Para tanto, utilize os testes de caminhos, se achar necessário; utilize as propriedades de limites; utilize coordenadas polares).
e)

Passo 1

Vamos analisar o limite dado: . Estamos trabalhando com cálculo de limites em funções de duas variáveis. Para resolver esse tipo de limite, muitas vezes usamos coordenadas polares, que facilitam a análise quando nos aproximamos de um ponto, neste caso, .

Passo 2

Primeiro, vamos converter as coordenadas cartesianas para coordenadas polares , onde:
Aqui, representa a distância do ponto até a origem , e é o ângulo em relação ao eixo positivo .

Passo 3

Substituindo e na expressão original:
Então, a expressão dentro do limite fica:

Passo 4

Agora, analisamos o comportamento de quando . Quando se aproxima de , tende ao infinito, então:
E, consequentemente:

Resposta

O limite existe e é igual a .

Exercícios relacionados

Nenhum dos limites abaixo existe. Em cada item, mostre isso calculando os valores obtidos quando ao longo do eixo , do eixo , das retas (ou , se for suficiente), da parábola . (Não é necessário calcular para todos os caminhos, é suficiente parar quando dois valores forem diferentes.)
b)
Continuidade de funções.
d) é descontínua em (0,0). Essa descontinuidade é removível? (Ou seja, é possível redefinir a função de modo que ela passe a ser contínua em ?)
(Vale a mesma dica do item c ) aqui.)
Continuidade de funções.
b) determine para que a função seja contínua em . Nesse caso, ela é contínua em todo o ? Justifique.
Continuidade de funções.
e) é contínua em ? É contínua em todo
Se não for, é possível redefinir essa função de forma que ela se torne contínua em todo ?