Em cada item, verifique se o limite existe e, nos casos afirmativos, calcule circ valor do limite. (Para tanto, utilize os testes de caminhos, se achar necessário; utilize as propriedades de limites; utilize coordenadas polares).
e) lim (x, y) (0,0) e^-1x^2+y^2

Passo 1

Vamos analisar o limite dado: lim (x, y) (0,0) e^-1x^2+y^2. Estamos trabalhando com cálculo de limites em funções de duas variáveis. Para resolver esse tipo de limite, muitas vezes usamos coordenadas polares, que facilitam a análise quando nos aproximamos de um ponto, neste caso, (0,0).

Passo 2

Primeiro, vamos converter as coordenadas cartesianas (x, y) para coordenadas polares (r, theta), onde:
x = r cos(theta)
y = r sin(theta)
Aqui, r representa a distância do ponto (x, y) até a origem (0,0), e theta é o ângulo em relação ao eixo positivo x.

Passo 3

Substituindo x e y na expressão original:
x^2 + y^2 = r^2(cos^2(theta) + sin^2(theta)) = r^2
Então, a expressão dentro do limite fica:
e^-1x^2+y^2 = e^-1r^2

Passo 4

Agora, analisamos o comportamento de e^-1r^2 quando r 0. Quando r se aproxima de 0, 1r^2 tende ao infinito, então:
-1r^2 -infty
E, consequentemente:
e^-1r^2 e^-infty = 0

Resposta

O limite existe e é igual a 0.

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