Continuidade de funções.
b) f(x, y)=lx^3+y^3x^2+y^2, se (x, y) neq(0,0) alpha , se (x, y)=(0,0) determine alpha para que a função seja contínua em (0,0). Nesse caso, ela é contínua em todo o R^2 ? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que é definida de duas maneiras: quando não é o ponto , ela é igual a , e no ponto , ela é igual a . Nosso objetivo aqui é encontrar o valor de que faz com que a função seja contínua em . Além disso, vamos verificar se, com esse valor de , a função é contínua em todo o plano .
Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade de funções, especialmente em múltiplas variáveis. A ideia é garantir que, conforme nos aproximamos de um ponto específico, o valor da função se aproxime de um valor fixo (nesse caso, ).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para a função ser contínua em lim(x, y) to (0,0) x^3 + y^3x^2 + y^2 = alpha , o limite de quando tende a deve ser igual a . Ou seja:
Então, precisamos calcular esse limite.

Passo 3

Uma boa maneira de achar limites de funções de duas variáveis é usar coordenadas polares, onde x^3 + y^3x^2 + y^2 = (r cos theta)^3 + (r sin theta)^3(r cos theta)^2 + (r sin theta)^2 e . A vantagem disso é que, quando tende a 0, estamos nos aproximando de de qualquer direção, e representa o ângulo da direção.
Vamos substituir e na função:

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão:
= r^3 cos^3 theta + r^3 sin^3 thetar^2 cos^2 theta + r^2 sin^2 theta
Podemos fatorar = r^3 (cos^3 theta + sin^3 theta)r^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) no numerador e = r^3 (cos^3 theta + sin^3 theta)r^2 cdot 1 = r (cos^3 theta + sin^3 theta) no denominador:
Sabemos que , então simplifica pra:

Passo 5

Agora, queremos ver o que acontece quando limr to 0 r (cos^3 theta + sin^3 theta) tende a 0:
Aqui, é uma função limitada, já que e são sempre entre -1 e 1. Portanto, o produto (algo limitado) tende a 0 quando tende a 0.

Passo 6

Então, concluímos que:
lim(x, y) to (0,0) x^3 + y^3x^2 + y^2 = 0

Passo 7

Para que a função seja contínua em , esse limite deve ser igual a . Portanto, .

Passo 8

Agora, vamos verificar se a função é contínua em todo . A função está bem definida para todos os pontos diferentes de porque o denominador não é zero. No ponto , definimos para garantir a continuidade ali. Portanto, com , a função é contínua em todo o plano .

Resposta

O valor de deve ser para que a função seja contínua em . Com esse valor, a função é contínua em todo o .

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