Continuidade de funções.
b) determine para que a função seja contínua em . Nesse caso, ela é contínua em todo o ? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que é definida de duas maneiras: quando não é o ponto , ela é igual a , e no ponto , ela é igual a . Nosso objetivo aqui é encontrar o valor de que faz com que a função seja contínua em . Além disso, vamos verificar se, com esse valor de , a função é contínua em todo o plano .
Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade de funções, especialmente em múltiplas variáveis. A ideia é garantir que, conforme nos aproximamos de um ponto específico, o valor da função se aproxime de um valor fixo (nesse caso, ).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para a função ser contínua em , o limite de quando tende a deve ser igual a . Ou seja:
Então, precisamos calcular esse limite.

Passo 3

Uma boa maneira de achar limites de funções de duas variáveis é usar coordenadas polares, onde e . A vantagem disso é que, quando tende a 0, estamos nos aproximando de de qualquer direção, e representa o ângulo da direção.
Vamos substituir e na função:

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão:
Podemos fatorar no numerador e no denominador:
Sabemos que , então simplifica pra:

Passo 5

Agora, queremos ver o que acontece quando tende a 0:
Aqui, é uma função limitada, já que e são sempre entre -1 e 1. Portanto, o produto (algo limitado) tende a 0 quando tende a 0.

Passo 6

Então, concluímos que:

Passo 7

Para que a função seja contínua em , esse limite deve ser igual a . Portanto, .

Passo 8

Agora, vamos verificar se a função é contínua em todo . A função está bem definida para todos os pontos diferentes de porque o denominador não é zero. No ponto , definimos para garantir a continuidade ali. Portanto, com , a função é contínua em todo o plano .

Resposta

O valor de deve ser para que a função seja contínua em . Com esse valor, a função é contínua em todo o .

Exercícios relacionados

Em cada item, verifique se o limite existe e, nos casos afirmativos, calcule valor do limite. (Para tanto, utilize os testes de caminhos, se achar necessário; utilize as propriedades de limites; utilize coordenadas polares).
e)
Nenhum dos limites abaixo existe. Em cada item, mostre isso calculando os valores obtidos quando ao longo do eixo , do eixo , das retas (ou , se for suficiente), da parábola . (Não é necessário calcular para todos os caminhos, é suficiente parar quando dois valores forem diferentes.)
b)
Continuidade de funções.
e) é contínua em ? É contínua em todo
Se não for, é possível redefinir essa função de forma que ela se torne contínua em todo ?
Considere a lista a seguir de equações diferenciais, identifique os pontos críticos e esboce os campos de direção de cada.