Continuidade de funções.
b)
determine
para que a função seja contínua em
. Nesse caso, ela é contínua em todo o
? Justifique.
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
que é definida de duas maneiras: quando
não é o ponto
, ela é igual a
, e no ponto
, ela é igual a
. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor de
que faz com que a função seja contínua em
. Além disso, vamos verificar se, com esse valor de
, a função é contínua em todo o plano
.
Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade de funções, especialmente em múltiplas variáveis. A ideia é garantir que, conforme nos aproximamos de um ponto específico, o valor da função se aproxime de um valor fixo (nesse caso,
).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para a função ser contínua em
, o limite de
quando
tende a
deve ser igual a
. Ou seja:
Então, precisamos calcular esse limite.
Passo 3
Uma boa maneira de achar limites de funções de duas variáveis é usar coordenadas polares, onde
e
. A vantagem disso é que, quando
tende a 0, estamos nos aproximando de
de qualquer direção, e
representa o ângulo da direção.
Vamos substituir
e
na função:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão:
Podemos fatorar
no numerador e
no denominador:
Sabemos que
, então simplifica pra:
Passo 5
Agora, queremos ver o que acontece quando
tende a 0:
Aqui,
é uma função limitada, já que
e
são sempre entre -1 e 1. Portanto, o produto
(algo limitado) tende a 0 quando
tende a 0.
Passo 6
Então, concluímos que:
Passo 7
Para que a função seja contínua em
, esse limite deve ser igual a
. Portanto,
.
Passo 8
Agora, vamos verificar se a função é contínua em todo
. A função está bem definida para todos os pontos
diferentes de
porque o denominador
não é zero. No ponto
, definimos
para garantir a continuidade ali. Portanto, com
, a função é contínua em todo o plano
.
Resposta
O valor de
deve ser
para que a função seja contínua em
. Com esse valor, a função é contínua em todo o
.