Continuidade de funções.
e) é contínua em ? É contínua em todo
Se não for, é possível redefinir essa função de forma que ela se torne contínua em todo ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma função definida de forma diferente quando é igual a e quando é qualquer outro ponto no plano. O assunto aqui é continuidade de funções de duas variáveis. A gente vai precisar saber como verificar se a função é contínua em um ponto específico e também em todo o . Além disso, se a função não for contínua, vamos ver se dá pra redefini-la de um jeito que ela fique contínua em todo o plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a função é definida:
A função usa uma expressão envolvendo seno quando não está no ponto e define o valor como 1 nesse ponto específico.

Passo 3

Vamos verificar se a função é contínua em . Para isso, precisamos ver se o limite de quando se aproxima de é igual a , que é 1.
Então, calculamos:
Sabemos que . Aqui, , e quando , . Portanto:
Então, a função é contínua em .

Passo 4

Agora, vamos verificar a continuidade em todo o . Para pontos diferentes de , a função é dada por . A função seno é contínua, e o denominador não é zero nesses pontos, então a função é contínua em todo ponto de exceto possivelmente em .
Como já verificamos que a função também é contínua em , concluímos que é contínua em todo .

Resposta

Sim, a função é contínua em e em todo o . Não é necessário redefini-la para garantir sua continuidade no plano inteiro.

Exercícios relacionados

Continuidade de funções.
b) determine para que a função seja contínua em . Nesse caso, ela é contínua em todo o ? Justifique.
Em cada item, verifique se o limite existe e, nos casos afirmativos, calcule valor do limite. (Para tanto, utilize os testes de caminhos, se achar necessário; utilize as propriedades de limites; utilize coordenadas polares).
e)
Considere a lista a seguir de equações diferenciais, identifique os pontos críticos e esboce os campos de direção de cada.
Verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.