Continuidade de funções.
e)
é contínua em
? É contínua em todo
Se não for, é possível redefinir essa função de forma que ela se torne contínua em todo
?
e)
Se não for, é possível redefinir essa função de forma que ela se torne contínua em todo
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma função
definida de forma diferente quando
é igual a
e quando é qualquer outro ponto no plano. O assunto aqui é continuidade de funções de duas variáveis. A gente vai precisar saber como verificar se a função é contínua em um ponto específico e também em todo o
. Além disso, se a função não for contínua, vamos ver se dá pra redefini-la de um jeito que ela fique contínua em todo o plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a função
é definida:
A função usa uma expressão envolvendo seno quando não está no ponto
e define o valor como 1 nesse ponto específico.
Passo 3
Vamos verificar se a função é contínua em
. Para isso, precisamos ver se o limite de
quando
se aproxima de
é igual a
, que é 1.
Então, calculamos:
Sabemos que
. Aqui,
, e quando
,
. Portanto:
Então, a função é contínua em
.
Passo 4
Agora, vamos verificar a continuidade em todo o
. Para pontos diferentes de
, a função é dada por
. A função seno é contínua, e o denominador
não é zero nesses pontos, então a função é contínua em todo ponto de
exceto possivelmente em
.
Como já verificamos que a função também é contínua em
, concluímos que
é contínua em todo
.
Resposta
Sim, a função
é contínua em
e em todo o
. Não é necessário redefini-la para garantir sua continuidade no plano inteiro.
Exercícios relacionados
Continuidade de funções.
b) determine
para que a função seja contínua em
. Nesse caso, ela é contínua em todo o
? Justifique.
b)
Em cada item, verifique se o limite existe e, nos casos afirmativos, calcule
valor do limite. (Para tanto, utilize os testes de caminhos, se achar necessário; utilize as propriedades de limites; utilize coordenadas polares).
e)
e)
Considere a lista a seguir de equações diferenciais, identifique os pontos críticos e esboce os campos de direção de cada.
Verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.