Continuidade de funções.
e) f(x, y) = { sen(y-x) / (y-x) , se (x, y) ≠ (0, 0) ; 1 , se (x, y) = (0, 0) } é contínua em (0,0) ? É contínua em todo circ R^2 ?
Se não for, é possível redefinir essa função de forma que ela se torne contínua em todo R^2 ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma função f(x, y) definida de forma diferente quando (x, y) é igual a (0,0) e quando é qualquer outro ponto no plano. O assunto aqui é continuidade de funções de duas variáveis. A gente vai precisar saber como verificar se a função é contínua em um ponto específico e também em todo o . Além disso, se a função não for contínua, vamos ver se dá pra redefini-la de um jeito que ela fique contínua em todo o plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a função f(x, y) é definida:
A função usa uma expressão envolvendo seno quando não está no ponto (0,0) e define o valor como 1 nesse ponto específico.

Passo 3

Vamos verificar se a função é contínua em (0,0). Para isso, precisamos ver se o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0,0) é igual a f(0, 0), que é 1.
Então, calculamos:
Sabemos que . Aqui, , e quando , . Portanto:
Então, a função é contínua em (0,0).

Passo 4

Agora, vamos verificar a continuidade em todo o . Para pontos diferentes de (0,0), a função é dada por . A função seno é contínua, e o denominador não é zero nesses pontos, então a função é contínua em todo ponto de exceto possivelmente em (0,0).
Como já verificamos que a função também é contínua em (0,0), concluímos que f(x, y) é contínua em todo .

Resposta

Sim, a função f(x, y) é contínua em (0,0) e em todo o R^2. Não é necessário redefini-la para garantir sua continuidade no plano inteiro.

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