Continuidade de funções.
d)
é descontínua em (0,0). Essa descontinuidade é removível? (Ou seja, é possível redefinir a função de modo que ela passe a ser contínua em
?)
(Vale a mesma dica do item c ) aqui.)
d)
(Vale a mesma dica do item c ) aqui.)
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: temos a função
e sabemos que ela é descontínua no ponto
. A questão pergunta se essa descontinuidade é removível, ou seja, se conseguimos redefinir
nesse ponto para torná-la contínua. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites de funções de várias variáveis e descontinuidades removíveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma descontinuidade removível. Uma descontinuidade é removível se o limite da função no ponto de descontinuidade existir. Se esse limite existir, podemos definir o valor da função nesse ponto igual ao limite, tornando a função contínua.
Passo 3
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
. Se esse limite existir e for igual para todos os caminhos que levam a
, então a descontinuidade é removível.
Passo 4
Para facilitar, vamos considerar diferentes caminhos que se aproximam de
:
- Caminho 1:
- Caminho 2:
Até aqui, ambos os caminhos dão o limite 0. Mas precisamos verificar se isso acontece para todos os caminhos.
Passo 5
Vamos considerar um caminho geral onde
, onde
é uma constante. Substituindo na função:
Esse resultado depende do valor de
. Ou seja, o limite varia conforme o caminho escolhido.
Passo 6
Como o limite depende de
e, portanto, de como nos aproximamos de
, concluímos que o limite não é único. Logo, o limite de
quando
tende a
não existe.
Resposta
Não, a descontinuidade em
não é removível, pois o limite da função nesse ponto não existe.
Exercícios relacionados
(2.0) Dadas as equações abaixo, verifique quais são as
exatas e resolva.
.
(3.0) Resolva as equações diferenciais:
Redutível à variáveis separáveis
Redutível à variáveis separáveis
Nenhum dos limites abaixo existe. Em cada item, mostre isso calculando os valores obtidos quando
ao longo do eixo
, do eixo
, das retas
(ou
, se for suficiente), da parábola
. (Não é necessário calcular para todos os caminhos, é suficiente parar quando dois valores forem diferentes.)
b)
b)
Em cada item, verifique se o limite existe e, nos casos afirmativos, calcule
valor do limite. (Para tanto, utilize os testes de caminhos, se achar necessário; utilize as propriedades de limites; utilize coordenadas polares).
e)
e)