Continuidade de funções.
d) é descontínua em (0,0). Essa descontinuidade é removível? (Ou seja, é possível redefinir a função de modo que ela passe a ser contínua em ?)
(Vale a mesma dica do item c ) aqui.)

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: temos a função e sabemos que ela é descontínua no ponto . A questão pergunta se essa descontinuidade é removível, ou seja, se conseguimos redefinir nesse ponto para torná-la contínua. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites de funções de várias variáveis e descontinuidades removíveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma descontinuidade removível. Uma descontinuidade é removível se o limite da função no ponto de descontinuidade existir. Se esse limite existir, podemos definir o valor da função nesse ponto igual ao limite, tornando a função contínua.

Passo 3

Vamos calcular o limite de quando se aproxima de . Se esse limite existir e for igual para todos os caminhos que levam a , então a descontinuidade é removível.

Passo 4

Para facilitar, vamos considerar diferentes caminhos que se aproximam de :
  • Caminho 1:
  • Caminho 2:
Até aqui, ambos os caminhos dão o limite 0. Mas precisamos verificar se isso acontece para todos os caminhos.

Passo 5

Vamos considerar um caminho geral onde , onde é uma constante. Substituindo na função:
Esse resultado depende do valor de . Ou seja, o limite varia conforme o caminho escolhido.

Passo 6

Como o limite depende de e, portanto, de como nos aproximamos de , concluímos que o limite não é único. Logo, o limite de quando tende a não existe.

Resposta

Não, a descontinuidade em não é removível, pois o limite da função nesse ponto não existe.

Exercícios relacionados

(2.0) Dadas as equações abaixo, verifique quais são as exatas e resolva.
.
(3.0) Resolva as equações diferenciais:
Redutível à variáveis separáveis
Nenhum dos limites abaixo existe. Em cada item, mostre isso calculando os valores obtidos quando ao longo do eixo , do eixo , das retas (ou , se for suficiente), da parábola . (Não é necessário calcular para todos os caminhos, é suficiente parar quando dois valores forem diferentes.)
b)
Em cada item, verifique se o limite existe e, nos casos afirmativos, calcule valor do limite. (Para tanto, utilize os testes de caminhos, se achar necessário; utilize as propriedades de limites; utilize coordenadas polares).
e)