Nenhum dos limites abaixo existe. Em cada item, mostre isso calculando os valores obtidos quando ao longo do eixo , do eixo , das retas (ou , se for suficiente), da parábola . (Não é necessário calcular para todos os caminhos, é suficiente parar quando dois valores forem diferentes.)
b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
O objetivo é mostrar que esse limite não existe calculando os valores ao longo de diferentes caminhos que chegam a . Vamos precisar usar substituições de caminhos como eixo , eixo , retas e parábolas .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite ao longo do eixo , ou seja, onde .
Substituindo na função:
Então, ao longo do eixo , o limite é 0.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite ao longo do eixo , onde .
Substituindo na função:
Portanto, ao longo do eixo , o limite também é 0.

Passo 4

Vamos agora calcular o limite ao longo de uma reta qualquer , onde .
Substituindo na função:
Quando , ou seja, , . Assim:
Esse valor depende de , ou seja, muda conforme a reta escolhida.

Passo 5

Para finalizar, vamos ver que esses resultados diferentes indicam que o limite varia dependendo do caminho escolhido para chegar a . Por exemplo:
  • Ao longo do eixo , o limite é 0.
  • Ao longo de qualquer reta , o limite é , que varia com .
Como obtemos diferentes valores dependendo do caminho, isso prova que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe, pois os valores obtidos por caminhos diferentes divergem.

Exercícios relacionados

Continuidade de funções.
d) é descontínua em (0,0). Essa descontinuidade é removível? (Ou seja, é possível redefinir a função de modo que ela passe a ser contínua em ?)
(Vale a mesma dica do item c ) aqui.)
(2.0) Dadas as equações abaixo, verifique quais são as exatas e resolva.
.
Em cada item, verifique se o limite existe e, nos casos afirmativos, calcule valor do limite. (Para tanto, utilize os testes de caminhos, se achar necessário; utilize as propriedades de limites; utilize coordenadas polares).
e)
Continuidade de funções.
b) determine para que a função seja contínua em . Nesse caso, ela é contínua em todo o ? Justifique.