Nenhum dos limites abaixo existe. Em cada item, mostre isso calculando os valores obtidos quando (x, y) (0,0) ao longo do eixo x, do eixo y, das retas y=m x, m in R^* (ou y=x, se for suficiente), da parábola y=x^2. (Não é necessário calcular para todos os caminhos, é suficiente parar quando dois valores forem diferentes.)
b) lim (x, y) (0,0) x y cos (y)4 x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim (x, y) (0,0) x y cos (y)4 x^2+y^2
O objetivo é mostrar que esse limite não existe calculando os valores ao longo de diferentes caminhos que chegam a . Vamos precisar usar substituições de caminhos como eixo , eixo , retas e parábolas .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite ao longo do eixo x cdot 0 cdot cos(0)4x^2 + 0^2 = 04x^2 = 0 , ou seja, onde .
Substituindo na função:
Então, ao longo do eixo , o limite é 0.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite ao longo do eixo 0 cdot y cdot cos(y)4 cdot 0^2 + y^2 = 0y^2 = 0 , onde .
Substituindo na função:
Portanto, ao longo do eixo , o limite também é 0.

Passo 4

Vamos agora calcular o limite ao longo de uma reta qualquer x cdot (m x) cdot cos(m x)4x^2 + (m x)^2 = m x^2 cos(m x)4x^2 + m^2x^2 = m cos(m x)4 + m^2 , onde limx to 0 m cos(m x)4 + m^2 = m4 + m^2 .
Substituindo na função:
Quando , ou seja, , . Assim:
Esse valor depende de , ou seja, muda conforme a reta escolhida.

Passo 5

Para finalizar, vamos ver que esses resultados diferentes indicam que o limite varia dependendo do caminho escolhido para chegar a . Por exemplo:
  • Ao longo do eixo , o limite é 0.
  • Ao longo de qualquer reta , o limite é , que varia com .
Como obtemos diferentes valores dependendo do caminho, isso prova que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe, pois os valores obtidos por caminhos diferentes divergem.

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