Nenhum dos limites abaixo existe. Em cada item, mostre isso calculando os valores obtidos quando
ao longo do eixo
, do eixo
, das retas
(ou
, se for suficiente), da parábola
. (Não é necessário calcular para todos os caminhos, é suficiente parar quando dois valores forem diferentes.)
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
O objetivo é mostrar que esse limite não existe calculando os valores ao longo de diferentes caminhos que chegam a
. Vamos precisar usar substituições de caminhos como eixo
, eixo
, retas
e parábolas
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite ao longo do eixo
, ou seja, onde
.
Substituindo
na função:
Então, ao longo do eixo
, o limite é 0.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite ao longo do eixo
, onde
.
Substituindo
na função:
Portanto, ao longo do eixo
, o limite também é 0.
Passo 4
Vamos agora calcular o limite ao longo de uma reta qualquer
, onde
.
Substituindo
na função:
Quando
, ou seja,
,
. Assim:
Esse valor depende de
, ou seja, muda conforme a reta escolhida.
Passo 5
Para finalizar, vamos ver que esses resultados diferentes indicam que o limite varia dependendo do caminho escolhido para chegar a
. Por exemplo:
- Ao longo do eixo
, o limite é 0. - Ao longo de qualquer reta
, o limite é , que varia com .
Como obtemos diferentes valores dependendo do caminho, isso prova que o limite não existe.
Resposta
O limite não existe, pois os valores obtidos por caminhos diferentes divergem.
Exercícios relacionados
Continuidade de funções.
d) é descontínua em (0,0). Essa descontinuidade é removível? (Ou seja, é possível redefinir a função de modo que ela passe a ser contínua em
?)
(Vale a mesma dica do item c ) aqui.)
d)
(Vale a mesma dica do item c ) aqui.)
(2.0) Dadas as equações abaixo, verifique quais são as
exatas e resolva.
.
Em cada item, verifique se o limite existe e, nos casos afirmativos, calcule
valor do limite. (Para tanto, utilize os testes de caminhos, se achar necessário; utilize as propriedades de limites; utilize coordenadas polares).
e)
e)
Continuidade de funções.
b) determine
para que a função seja contínua em
. Nesse caso, ela é contínua em todo o
? Justifique.
b)