Em cada item, verifique se os pontos pertencem a reta.
P(10,-3,1), Q(2,-4,-5), r:(x, y, z)=(4-2 t,-3,1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois pontos, e , e uma reta definida pelas equações paramétricas . Nosso objetivo aqui é descobrir se cada um desses pontos está ou não nessa reta. Para isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica, especificamente sobre pontos e retas no espaço. Vamos precisar verificar se existe algum valor de que, ao ser substituído nas equações da reta, faça com que as coordenadas resultantes coincidam com as coordenadas dos pontos e .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o ponto x = 4 - 2t y = -3 z = 1 . Para isso, precisamos encontrar um valor de 4 - 2t = 10 Rightarrow -2t = 10 - 4 Rightarrow -2t = 6 Rightarrow t = -3 que satisfaça as três equações paramétricas da reta:
y = -3
Vamos resolver para z = 1 :
  1. Equação de :
  2. Equação de :
    O valor de no ponto é exatamente , o que já confere.
  3. Equação de :
    O valor de no ponto também é , correspondendo ao da reta.
Como encontramos um valor de ( ) que satisfaz todas as equações paramétricas da reta para o ponto , isso significa que o ponto pertence à reta .

Passo 3

Agora, vamos analisar o ponto 4 - 2t = 2 Rightarrow -2t = 2 - 4 Rightarrow -2t = -2 Rightarrow t = 1 . Assim como fizemos com o ponto y = -3 , vamos tentar encontrar um valor de z = 1 que faça as coordenadas de coincidirem com as da reta .
  1. Equação de :
  2. Equação de :
    O valor de no ponto é , que não corresponde ao valor da reta.
  3. Equação de :
    O valor de no ponto é , diferente de da reta.
Mesmo que tenhamos encontrado um valor de ( ) que satisfaz a equação de , as outras coordenadas e não correspondem. Isso significa que não existe um único valor de que satisfaça todas as três equações paramétricas para o ponto . Portanto, o ponto não pertence à reta .

Resposta

O ponto pertence à reta , enquanto o ponto não pertence à reta .

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