Sejam
matrizes quadradas de ordem
. Sabendo que
Determinar o valor dos determinantes das matrizes
e
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três matrizes quadradas
de ordem
. As informações dadas envolvem determinantes dessas matrizes e queremos encontrar os valores dos determinantes de
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades dos determinantes, como as de matrizes invertidas, transpostas e multiplicadas por escalar.
Passo 2
Vamos começar analisando a primeira equação:
Sabemos que o determinante de um produto de matrizes é o produto dos determinantes, então:
Passo 3
Agora, lembramos que o determinante de uma matriz inversa é o inverso do determinante da matriz original:
E como foi dado que
, temos:
Passo 4
Também sabemos que multiplicar uma matriz por um escalar
multiplica o determinante por
(onde
é a ordem da matriz):
E o determinante de
é:
Passo 5
Substituindo de volta na equação original:
Isso simplifica para:
Portanto:
Passo 6
Agora, vamos para a segunda equação:
Sabemos que o determinante de uma transposta é igual ao determinante da matriz original:
E novamente, o determinante do produto de matrizes é o produto dos determinantes:
Já sabemos que
, então:
Dividindo ambos os lados por
: