Sejam A, B, C matrizes quadradas de ordem n. Sabendo que
det(A^-1 3 B^-1)=1, det(B C^t)=3^n, det(A)=1
Determinar o valor dos determinantes das matrizes B e C.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três matrizes quadradas de ordem . As informações dadas envolvem determinantes dessas matrizes e queremos encontrar os valores dos determinantes de e . Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades dos determinantes, como as de matrizes invertidas, transpostas e multiplicadas por escalar.

Passo 2

Vamos começar analisando a primeira equação:
det(A^-1 cdot 3 B^-1) = 1
Sabemos que o determinante de um produto de matrizes é o produto dos determinantes, então:
det(A^-1) cdot det(3 B^-1) = 1

Passo 3

Agora, lembramos que o determinante de uma matriz inversa é o inverso do determinante da matriz original:
det(A^-1) = 1det(A)
E como foi dado que det(A^-1) = 11 = 1 , temos:

Passo 4

Também sabemos que multiplicar uma matriz por um escalar det(3 B^-1) = 3^n cdot det(B^-1) multiplica o determinante por det(B^-1) = 1det(B) (onde é a ordem da matriz):
E o determinante de é:

Passo 5

Substituindo de volta na equação original:
1 cdot 3^n cdot 1det(B) = 1
Isso simplifica para:
3^ndet(B) = 1
Portanto:
det(B) = 3^n

Passo 6

Agora, vamos para a segunda equação:
det(B C^t) = 3^n
Sabemos que o determinante de uma transposta é igual ao determinante da matriz original:
det(C^t) = det(C)
E novamente, o determinante do produto de matrizes é o produto dos determinantes:
det(B) cdot det(C) = 3^n
Já sabemos que 3^n cdot det(C) = 3^n , então:
det(C) = 1
Dividindo ambos os lados por :

Resposta

det(B) = 3^n e det(C) = 1

Exercícios relacionados

Em cada item, verifique se os pontos pertencem a reta.
P(10,-3,1), Q(2,-4,-5), r:(x, y, z)=(4-2 t,-3,1)
Dados os vetores u=(x, 7,8), v=(g, y, 9) e w=(-2,-6,-z).
Se v-2 u=(0,14,-9), quais são os valores de g e y, assumindo que x=1 ?
Sejam A=(2,5), B=(10, 12), C=(0,-9), D=(-4,-8). Encontre os vetores:
A D
Em cada item, verifique se os pontos pertencem a reta.
P(-4,-5,3), Q(-7,10,2), r:(x, y, z)=(t-5,2-4 t, 2).