Em cada item, verifique se o subconjunto é subespaço do espaço vetorial . e .
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício de Álgebra Linear. A gente precisa verificar se o conjunto é um subespaço do espaço vetorial , que é o conjunto de todas as matrizes 2x2 com entradas reais. Para isso, a gente vai precisar lembrar dos critérios que definem um subespaço: ter o vetor zero, ser fechado em relação à adição e à multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se o vetor zero está em 0 & 0 0 & 0 . O vetor zero no espaço a + 2b = 0 + 2 times 0 = 0 e c - d = 0 - 0 = 0 é a matriz:
Vamos substituir , , e nas condições de :
Como ambas as condições são satisfeitas, o vetor zero está em .
Passo 3
Agora, vamos ver se A = a & b c & d e B = a' & b' c' & d' é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos duas matrizes quaisquer em a + 2b = 0 e c - d = 0 , a soma delas também deve estar em a' + 2b' = 0 e c' - d' = 0 .
Sejam duas matrizes em A + B = a + a' & b + b' c + c' & d + d' :
Como (c + c') - (d + d') = (c - d) + (c' - d') = 0 + 0 = 0 e estão em , temos:
Agora, somamos :
Vamos verificar as condições para :
Como as condições são satisfeitas, é fechado sob adição.
Passo 4
Por último, vamos checar se A = a & b c & d é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se multiplicarmos qualquer matriz de a + 2b = 0 e c - d = 0 por um número real qualquer, o resultado também deve estar em kA = ka & kb kc & kd .
Pegamos uma matriz ka + 2(kb) = k(a + 2b) = k times 0 = 0 em kc - kd = k(c - d) = k times 0 = 0 :
Com as condições:
Agora, multiplicamos por um escalar :
Vamos verificar as condições para :
Como as condições são atendidas, é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como o conjunto contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, então é um subespaço de .