Discutar os sistemas de equações lineares abaixo indicados de acordo com o(s) valor(es) do(s) parâmetro(s).
2.4
rlrx+0 y+ & 2 z & =4 2 x+m y+ & 4 z & =8-m x+m y+(-m^2+3 m+2) z & =4-2 m

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse sistema de equações que você enviou. Temos três equações com três incógnitas , e , mas há um parâmetro envolvido. O que precisamos fazer é analisar como diferentes valores de afetam as soluções desse sistema. Para isso, vamos usar os conceitos de sistemas lineares, como matrizes e determinantes, para verificar se o sistema tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução dependendo de .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema em forma de matriz aumentada. Isso vai nos ajudar a visualizar melhor as equações e facilitar as operações que vamos realizar.
1 & 0 & 2 & | & 4 2 & m & 4 & | & 8 - m 1 & m & -m^2 + 3m + 2 & | & 4 - 2m

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes para verificar se o sistema tem solução única. Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma única solução. Caso contrário, pode ter infinitas soluções ou nenhuma.
A matriz dos coeficientes é:
A = 1 & 0 & 2 2 & m & 4 1 & m & -m^2 + 3m + 2
Vamos calcular o determinante de det(A) = 1 cdot (m cdot (-m^2 + 3m + 2) - 4 cdot m) - 0 cdot (2 cdot (-m^2 + 3m + 2) - 4 cdot 1) + 2 cdot (2 cdot m - m cdot 1) :
det(A) = 1 cdot ( -m^3 + 3m^2 + 2m - 4m ) + 0 + 2 cdot (2m - m ) = -m^3 + 3m^2 - 2m + 2m = -m^3 + 3m^2
Simplificando:
det(A) = -m^3 + 3m^2 = -m^2(m - 3)
Portanto:

Passo 4

Vamos analisar o valor do determinante :
  1. Se , ou seja, , o que acontece quando e , então o sistema tem uma única solução.
  2. Se , ou seja, quando ou , precisamos analisar mais detalhadamente para ver se o sistema tem infinitas soluções ou nenhuma solução.

Passo 5

Vamos examinar os casos em que x + 0 y + 2 z = 4 2x + 0 y + 4 z = 8 x + 0 y + 2 z = 4 :
Caso 1: x + 2z = 4 2x + 4z = 8
Substituindo x + 0 y + 2 z = 4 2x + 3 y + 4 z = 5 x + 3 y + (-9 + 9 + 2) z = -2 no sistema:
x + 3y + 2z = -2
Perceba que a primeira e a terceira equações são iguais. Isso significa que temos apenas duas equações independentes:
x + 2z = 4 (Equação 1) 2x + 3y + 4z = 5 (Equação 2) x + 3y + 2z = -2 (Equação 3)
A segunda equação é apenas o dobro da primeira, o que indica que o sistema é dependente e possui infinitas soluções.
Caso 2: x = 4 - 2z
Substituindo 4 - 2z + 3y + 2z = -2 no sistema:
4 + 3y = -2
Simplificando a terceira equação:
3y = -6 Rightarrow y = -2
Agora, temos:
2(4 - 2z) + 3(-2) + 4z = 5 çãçãçã
Vamos resolver o sistema:
Da Equação 1, isolamos 8 - 4z - 6 + 4z = 5 :
2 = 5
Substituímos na Equação 3:
Agora, substituímos e na Equação 2:
Isso é uma contradição, o que significa que não há solução para o sistema quando .

Resposta

Resumindo:
  • Para todo valor de diferente de 0 e 3, o determinante é diferente de zero, e o sistema possui uma única solução.
  • Quando , o sistema se torna dependente, apresentando infinitas soluções.
  • Quando , o sistema é inconsistente, ou seja, não possui solução.

Exercícios relacionados

Discutar os sistemas de equações lineares abaixo indicados de acordo com o(s) valor(es) do(s) parâmetro(s).
2.5 m x+(1-m) y+(1-m) z & =m^2 m x+(1+m) y+(1+m) z & =m-m^2 x+y+z & =1-m
Identifique as cônicas:
(a) 3 x^2-8 x y-12 y^2+81=0;
(b) 2 x^2-4 x y-y^2=-24;
Seja A uma matriz simétrica. Sabendo-se que
V1=(0,2,-2,1) e V2=(2,1,-2,3)
são autovetores associados a lambda1=2 e
V3=(-2,0,1,2) e V4=(-3,-2,-1,2)
são autovetores associados a lambda2=4 determine
(a) um conjunto de vetores ortogonais
W1, W2, W3, W4
a partir do conjunto de vetores V1, V2, V3, V4.
(b) um conjunto de vetores ortonormais
U1, U2, U3, U4
a partir do conjunto W1, W2, W3, W4 e determine uma matriz P e uma matriz diagonal D tal que A=P D P^t.
Em cada item, verifique se o subconjunto U é subespaço do espaço vetorial V. V=M2(R) e U=(lla & b c & d) in M2(R) rvert, a+2 b=c-d=0.