são autovetores associados a determine
(a) um conjunto de vetores ortogonais
a partir do conjunto de vetores .
(b) um conjunto de vetores ortonormais
a partir do conjunto e determine uma matriz e uma matriz diagonal tal que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma matriz simétrica e nos dá quatro autovetores com seus respectivos autovalores e . Nosso objetivo é:
a) Encontrar um conjunto de vetores ortogonais a partir de .
b) A partir dos vetores ortogonais, encontrar vetores ortonormais e determinar as matrizes e tal que .
Vamos precisar entender conceitos como autovetores, ortogonalização e normalização para resolver esse exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que como a matriz é simétrica, seus autovetores correspondentes a autovalores distintos são ortogonais entre si. No entanto, aqui temos dois autovalores, cada um com dois autovetores associados. Então, os vetores dentro de cada conjunto de autovalores podem não ser ortogonais entre si, mas vetores de conjuntos diferentes já são ortogonais.
Vamos verificar a ortogonalidade dos vetores e , assim como e .
Passo 3
Vamos calcular o produto interno (ou produto escalar) entre e :
Como o produto interno não é zero, e não são ortogonais.
Da mesma forma, vamos calcular :
Também não é zero, então e não são ortogonais.
Passo 4
Agora, vamos aplicar o Processo de Gram-Schmidt para transformar os conjuntos e em conjuntos de vetores ortogonais.
Primeiro, para os vetores e :
Definimos .
Em seguida, .
Vamos calcular:
Então,
Agora, para os vetores e :
Definimos .
Em seguida, .
Vamos calcular:
Então,
Passo 5
Agora temos o conjunto de vetores ortogonais:
Isso responde a parte (a) do exercício.
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b). Precisamos transformar os vetores ortogonais em vetores ortonormais.
Para isso, vamos normalizar cada vetor, ou seja, dividir cada vetor pelo seu comprimento (norma). A norma de um vetor é dada por:
Vamos calcular a norma de cada :
Para :
Então,
Para :
Então,
Para :
Então,
Para :
Então,
Agora temos o conjunto de vetores ortonormais:
Passo 7
Agora, precisamos determinar as matrizes e tais que .
Matriz : É a matriz cujas colunas são os vetores ortonormais .
Matriz : É uma matriz diagonal cujos elementos da diagonal são os autovalores correspondentes aos vetores de .