Seja A uma matriz simétrica. Sabendo-se que
V1=(0,2,-2,1) e V2=(2,1,-2,3)
são autovetores associados a lambda1=2 e
V3=(-2,0,1,2) e V4=(-3,-2,-1,2)
são autovetores associados a lambda2=4 determine
(a) um conjunto de vetores ortogonais
W1, W2, W3, W4
a partir do conjunto de vetores V1, V2, V3, V4.
(b) um conjunto de vetores ortonormais
U1, U2, U3, U4
a partir do conjunto W1, W2, W3, W4 e determine uma matriz P e uma matriz diagonal D tal que A=P D P^t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma matriz simétrica e nos dá quatro autovetores com seus respectivos autovalores e . Nosso objetivo é:
a) Encontrar um conjunto de vetores ortogonais a partir de .
b) A partir dos vetores ortogonais, encontrar vetores ortonormais e determinar as matrizes e tal que .
Vamos precisar entender conceitos como autovetores, ortogonalização e normalização para resolver esse exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que como a matriz é simétrica, seus autovetores correspondentes a autovalores distintos são ortogonais entre si. No entanto, aqui temos dois autovalores, cada um com dois autovetores associados. Então, os vetores dentro de cada conjunto de autovalores podem não ser ortogonais entre si, mas vetores de conjuntos diferentes já são ortogonais.
Vamos verificar a ortogonalidade dos vetores e , assim como e .

Passo 3

Vamos calcular o produto interno (ou produto escalar) entre V1 cdot V2 = (0)(2) + (2)(1) + (-2)(-2) + (1)(3) = 0 + 2 + 4 + 3 = 9 e V3 cdot V4 = (-2)(-3) + (0)(-2) + (1)(-1) + (2)(2) = 6 + 0 -1 + 4 = 9 :
Como o produto interno não é zero, e não são ortogonais.
Da mesma forma, vamos calcular :
Também não é zero, então e não são ortogonais.

Passo 4

Agora, vamos aplicar o Processo de Gram-Schmidt para transformar os conjuntos W1 = V1 = (0, 2, -2, 1) e V2 cdot W1 = 0 cdot 2 + 2 cdot 1 + (-2) cdot (-2) + 1 cdot 3 = 0 + 2 + 4 + 3 = 9 em conjuntos de vetores ortogonais.
Primeiro, para os vetores W1 cdot W1 = 0^2 + 2^2 + (-2)^2 + 1^2 = 0 + 4 + 4 + 1 = 9 e W2 = V2 - 99 W1 = V2 - W1 = (2, 1, -2, 3) - (0, 2, -2, 1) = (2, -1, 0, 2) :
Definimos W3 = V3 = (-2, 0, 1, 2) .
Em seguida, V4 cdot W3 = (-2)(-3) + 0(-2) + 1(-1) + 2(2) = 6 + 0 -1 + 4 = 9 .
Vamos calcular:
W3 cdot W3 = (-2)^2 + 0^2 + 1^2 + 2^2 = 4 + 0 + 1 + 4 = 9
W4 = V4 - 99 W3 = V4 - W3 = (-3, -2, -1, 2) - (-2, 0, 1, 2) = (-1, -2, -2, 0)
Então,
Agora, para os vetores e :
Definimos .
Em seguida, .
Vamos calcular:
Então,

Passo 5

Agora temos o conjunto de vetores ortogonais:
W1, W2, W3, W4 = (0, 2, -2, 1), (2, -1, 0, 2), (-2, 0, 1, 2), (-1, -2, -2, 0)
Isso responde a parte (a) do exercício.

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b). Precisamos transformar os vetores ortogonais |W| = raizW cdot W em vetores ortonormais |W1| = raiz0^2 + 2^2 + (-2)^2 + 1^2 = raiz0 + 4 + 4 + 1 = raiz9 = 3 .
Para isso, vamos normalizar cada vetor, ou seja, dividir cada vetor pelo seu comprimento (norma). A norma de um vetor U1 = W1|W1| = (0, 23, -23, 13) é dada por:
|W2| = raiz2^2 + (-1)^2 + 0^2 + 2^2 = raiz4 + 1 + 0 + 4 = raiz9 = 3
Vamos calcular a norma de cada U2 = W2|W2| = (23, -13, 0, 23) :
  1. Para |W3| = raiz(-2)^2 + 0^2 + 1^2 + 2^2 = raiz4 + 0 + 1 + 4 = raiz9 = 3 :
U3 = W3|W3| = (-23, 0, 13, 23)
Então,
|W4| = raiz(-1)^2 + (-2)^2 + (-2)^2 + 0^2 = raiz1 + 4 + 4 + 0 = raiz9 = 3
  1. Para U4 = W4|W4| = (-13, -23, -23, 0) :
U1, U2, U3, U4 = (0, 23, -23, 13), (23, -13, 0, 23), (-23, 0, 13, 23), (-13, -23, -23, 0)
Então,
  1. Para :
Então,
  1. Para :
Então,
Agora temos o conjunto de vetores ortonormais:

Passo 7

Agora, precisamos determinar as matrizes D = 2 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 4 & 0 0 & 0 & 0 & 4 e P = 0 & 23 & -23 & -13 23 & -13 & 0 & -23 -23 & 0 & 13 & -23 13 & 23 & 23 & 0 tais que A = P D P^t .
Matriz : É a matriz cujas colunas são os vetores ortonormais .
Matriz : É uma matriz diagonal cujos elementos da diagonal são os autovalores correspondentes aos vetores de .
Dado que:
  • e correspondem ao autovalor .
  • e correspondem ao autovalor .
Então, a matriz será:
E a matriz será:
Portanto, temos que:

Resposta

a) O conjunto de vetores ortogonais é
W1 = (0,,2,,-2,,1), W2 = (2,,-1,,0,,2), W3 = (-2,,0,,1,,2), W4 = (-1,,-2,,-2,,0)
b) O conjunto de vetores ortonormais é
U1 &= (0, dfrac23, -dfrac23, dfrac13), U2 &= (dfrac23, -dfrac13, 0, dfrac23), U3 &= (-dfrac23, 0, dfrac13, dfrac23), U4 &= (-dfrac13, -dfrac23, -dfrac23, 0)
As matrizes P = 0 & dfrac23 & -dfrac23 & -dfrac13 dfrac23 & -dfrac13 & 0 & -dfrac23 -dfrac23 & 0 & dfrac13 & -dfrac23 dfrac13 & dfrac23 & dfrac23 & 0 , D = 2 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 4 & 0 0 & 0 & 0 & 4 e que satisfazem são:

Exercícios relacionados

Discutar os sistemas de equações lineares abaixo indicados de acordo com o(s) valor(es) do(s) parâmetro(s).
2.4
rlrx+0 y+ & 2 z & =4 2 x+m y+ & 4 z & =8-m x+m y+(-m^2+3 m+2) z & =4-2 m
Discutar os sistemas de equações lineares abaixo indicados de acordo com o(s) valor(es) do(s) parâmetro(s).
2.5 m x+(1-m) y+(1-m) z & =m^2 m x+(1+m) y+(1+m) z & =m-m^2 x+y+z & =1-m
Em cada item, verifique se o subconjunto U é subespaço do espaço vetorial V. V=M2(R) e U=(lla & b c & d) in M2(R) rvert, a+2 b=c-d=0.
Discutar os sistemas de equações lineares abaixo indicados de acordo com o(s) valor(es) do(s) parâmetro(s).
2.7lx+b y+a z=1 x+a b y+z=b a x+b y+z=1